专题01 曲线和方程（训练篇B）-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题1 曲线和方程 训练篇B 专题01曲线和方程 训练篇 B 作者：上海市特级教师 文卫星 1.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为，则E的离心率为 A. B. C. D. 分析 要求e，不一定要清楚a和c，可以求出a，c之间的关系，在转化为e的方程或等式. 解1 设双曲线方程为. 如图所示，，，过点作轴，垂足为，在△中，由于|BM|=|AB|=2a，则，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以. 解2 如图所示，不妨设点在第一象限，则直线的方程，直线的方程，联立解得，所以点的坐标为，以下同解1. 2.双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则=_______________. 解 不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线如图所示. 因为为正方形，，所以，. 因为直线是渐近线，方程为，所以. 又，所以. 3.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解 因为抛物线焦点到准线的距离为p，所以只要求出p，因D在圆上，A既在圆上，又在抛物线上，从而可以得到三个方程，不妨设抛物线为，设圆的方程为，作出示意图如图所示.F 由已知可设 ，， 由于点既在抛物线上，又在圆上，所以 … ① … ② 又点在圆C上，则…③ 联立①②③解得：，所以，焦点到准线的距离为，故选B． 4． 设椭圆（）的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为.已知. （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率. 解（1）设椭圆的右焦点的坐标为.由，即，把代入上式，平方整理得 .所以，椭圆的离心率. （2）由（1）知，，故椭圆方程为. 设.由，，则，. 由已知，有，即. 因，所以. ① 又因为点在椭圆上，故. ② 由①和②可得，而点不是椭圆的顶点，故，所以，代入①得，即点的坐标为. 设圆的圆心为，则