专题08：圆锥曲线的定点定直线定值问题训练-2026届高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题08 圆锥曲线的定点、定直线、定值问题 题型01：直线（圆）过定点问题 1. （2026长宁区二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求的离心率； （2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； （3）若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； （3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点. 【小问1详解】 将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中，所以， 即离心率： ； 【小问2详解】 设，直线方程为， 令，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或（因为此时与点重合故舍去），即； 【小问3详解】 设，由关于原点对称得， 计算得直线的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 2. （2025华东师大三附中高三三模）已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 小问1详解】 由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． 【小问3详解】 法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 3．（2026·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． (1)当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； (2)当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； (3)当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点三角形的周长计算公式求解出结果； （2）联立直线与椭圆方程，求得点坐标，然后根据纵坐标求得的值； （3）先判断出的位置关系，然后通过联立直线与椭圆方程求得中点的坐标，由此可表示出直线的方程，根据直线过定点可求解出结果. 【详解】（1）由椭圆方程可知，， 所以的周长为； （2）因为，所以，则，即， 联立，可得，解得或，所以， 因为，所以， 所以； （3）因为，所以， 所以， 所以 ，所以，所以； 当中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和点重合，故不符合条件； 当为坐标原点时，此时均与点重合，故不符合条件； 由上可知，的斜率都存在， 设，， 联立，可得， 所以，所以，所以，所以， 同理可得，即， 所以，所以， 令，解得， 因为直线恒过定点，所以，所以， 所以. 4. （25-26奉贤区二模）已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线l与相切，求当时，的长； （3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用离心率及所过点计算即可得； （2）设出直线后，利用圆的切线的性质计算可得，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得； （3）设，，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用圆上的点的性质，借助向量有，计算后可得与、、、有关等式，再利用定点性质计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由，则，可设，、， 则由直线与相切，可得，化简得， 联立，消去可得， ， 则，， 则 ； 【小问3详解】 设，、，， 联立，消去可得， ，即， ，， 由点在以为直径的圆上，则， 由，， 则 ， 即 故，则有， 由，故，则有， 即或，由，故， 即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点， 且点坐标为. 5. （25-26普陀区二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. （1）若点的坐标为，求双曲线的方程； （2）若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； （3）设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，再将点的坐标代入双曲线的方程，可求出的值，进而可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点、，易知点、关于原点对称，则，利用点差法可求得的值； （3）设点、，则、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，可得出，求出的方程，由此可得出点的坐标，并求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，结合韦达定理可得出的值，结合可得出的取值范围，在利用弦长公式以及双曲线的定义可求得周长的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，则，则双曲线的方程可化为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，双曲线的方程为，即， 设点、，易知点、关于原点对称，则， 因为，所以，故， 所以. 【小问3详解】 因为，所以双曲线的方程为，即， 易知点、、， 设点、，则、， 联立得， 则，可得， 由韦达定理可得，，故①， 直线的方程为，在该直线方程中令可得点， 直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得， 即②， 由①得，代入②式得， 故，解得， 所以，可得， 所以 ， 因为，故直线恒过右焦点， 由双曲线的定义可得，， 故的周长为， 即周长的取值范围是. 6. （2022·上海长宁·统考一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l； (1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由； 【答案】(1) (2) (3)以线段MN为直径的圆C过定点，理由见详解 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【解析】（1）抛物线的焦点为，准线为， 双曲线的方程为双曲线，即，则， 由题意可知：，则， 故双曲线C的离心率. （2）由（1）可知：， 过点P作直线的垂线，垂足为M，则， ∵，且， ∴， 故直线EP的倾斜角，斜率， ∴直线EP的方程为，即. （3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下： 设直线， 联立方程，消去y可得：， 则可得：， ∵直线，当时，， ∴， 同理可得：， ∵ ， ， 则线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为，整理得， 令，则，解得或， 故以线段MN为直径的圆C过定点. 【点睛】思路点睛： 过定点问题的两大类型及解法： (1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 7．（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的焦点为，准线为．    (1)若点在抛物线上，求所在直线的斜率； (2)若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； (3)若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，且定值为 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出该抛物线的标准方程，可求出其焦点的坐标，再利用斜率的斜率公式可求出直线的斜率； （2）设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设这两条切线的斜率分别为、，设过点的切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径得出，结合韦达定理得出，，求出、的坐标，结合韦达定理可求出的最小值； （3）设点，设过点的切线的方程为，因为圆心到切线的距离为，可得出，设切线、的斜率分别为、，则、为该方程的两根，利用韦达定理得出，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，同理可得出，化简的表达式，根据韦达定理结合为定值可求得的值，即可得出结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 故抛物线的标准方程为，其焦点为， 故直线的斜率为. （2）圆的标准方程为，则圆心为，半径为， 因为抛物线的准线方程为，即，可得，故抛物线的方程为， 设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设它们的斜率分别为、， 不妨设过点的切线方程为，即， 由题意知，圆心到直线的距离为，即， 整理可得， 依题意，、是关于的方程的两根， 所以，且，， 易知直线的方程为，令可得，即得点，同理点， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. （3）若点到准线的距离为，即，故抛物线的方程为， 其准线的方程为，设点， 圆的圆心为，半径为，    由题意可知，过点的切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离为，则， 整理可得， 设切线、的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 故，， 将直线的方程与抛物线的方程联立，可得， 由韦达定理可得，同理可得， 故 为定值，则， 因为，解得， 故当时，即存在定圆，使得当点运动时，为定值. 8.已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标； (3)当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或. (3)或 【分析】（1）根据关系得到方程组，解出即可； （2）写出渐近线方程，再利用平行关系得到直线的方程，联立双曲线方程解出即可； （3）设设的方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，再写出相关直线方程，得到相关点坐标，写出两点直径式，代入韦达定理式即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）渐近线方程为， 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得. 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得， 所以直线与双曲线的交点坐标为或. （3）因为双曲线的渐近线方程为：， 显然当直线与轴重合时，不合题意，故设的方程为，，， 直线的方程为：， 当时，，即P点坐标为， 直线的方程为：， 当时，，即点坐标为， 所以以为直径的圆方程为：， 当时， 联立，消去得，其中， ，且， 所以，. ， 所以， 所以或. 所以轴上存在定点或始终在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法并与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出两点直径式方程，并代入韦达定理式即可. 题型02：弦长或线段定值问题 9．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程； （2）根据直线与圆相切得，设，则，从而，进而求得 （3）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      10．(24-25高二下·上海实验中学·期中)已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点． (1)求椭圆的离心率； (2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标； (3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在， 【分析】（1）根据离心率公式直接求解； （2）由题设设，进而分或两种情况讨论求解即可； （3）假设存在定点满足题意，先讨论的斜率存在时，设的方程为，，首先与椭圆方程联立并结合直线与直线的斜率之和为得，其次求得直线的方程为并于直线的方程联立求得点，再次根据得当时，为定值，最后说明直线的斜率存在也满足即可. 当直线斜率不存在时，设，， 则，，此时，满足题意． 所以存在定点，使得为定值且定值为． 【详解】（1）由题意，，所以离心率 （2）由题意，，，，所以直线的方程为：， 设，显然有或两种情况， ①当时，直线的倾斜角为，其与轴的交点为，则， 因为， 由，得：，解得（舍去）或， 所以，点的坐标是 ②当时，此时， 则， 因为， 由，得：， 解得（舍去）或 综上所述，点的坐标是或 （3）假设存在定点满足题意， 当的斜率存在时，设直线的方程为，， 由得， 由题意，，即①． ， ， 所以，代入①，得：， 所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为2 直线的方程为，直线的方程为 由，得：，即 所以 所以当时，为定值，. 当直线斜率不存在时，设，， 则，，此时，满足题意． 所以存在定点，使得为定值且定值为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于利用分类讨论的思想，求得对应的的范围，进而舍去不满足的解；第三问解题的关键在于根据已知条件求得直线的方程为中的参数，点，难点在于数学运算. 11.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，依题意可得，解得，即可求出椭圆方程； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时直接求出、的坐标，即可判断，当直线存在时，设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由得到方程，求出的值，即可求出直线方程； （3）由弦长公式表示出，设直线，，，联立求出、，即可表示，代入即可得证. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）由（1）可得，由题意知，直线与椭圆必相交， ①当直线斜率不存在时，由，解得或， 不妨令，，则，不合题意； ②当直线存在时，设直线，设，， 联立，消去整理得， 所以，， 则， 解得， 所以直线方程为或. （3）证明：由（2）可得， 设直线，设，， 联立，消去得， 所以、， 所以， 所以，即为定值. 12．（2026·上海奉贤·一模）椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； (3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为，作图见解析 (2) (3)为定值 【分析】（1）根据椭圆中的关系求解椭圆方程即可，利用椭圆的定义作图即可得椭圆的左焦点； （2）设，则，根据三角形面积公式即可得，关于的式子，利用面积比例求解即可得所求； （3）设，其中，，其中，分别与椭圆方程联立，根据根于系数的关系得与，与的关系，再根据线段比例关系计算验证是否为定值即可. 【详解】（1）因为椭圆中，，，椭圆的离心率是， 则，解得， 则椭圆的方程为； 如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点；    （2）设，则①，且， 当时，， 又， 因为，，所以直线的方程为，即， 故点到直线的距离， ， 因为，所以，即②， 联立①②，且，解得， 故点的坐标为； （3）如图所示，，且，，则，    过作轴于，过作轴于， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 因为， 所以 为定值， 所以为定值. 题型03：面积定值问题 13. 如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为． （注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点） (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数； (3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的面积不是定值，取值范围是 【分析】（1）由扇形的面积得，由及得； （2）分、、三种情况讨论，利用椭圆的定义表示出的周长； （3）联立直线方程和椭圆方程，由弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式表示出的面积，根据求出取值范围. 【详解】（1）扇形的面积为，解得， 半椭圆与轴的交点，右焦点， 所以在中，， 又因为，所以. （2）显然直线的斜率不为，所以， 由（1）知半椭圆方程为，圆弧方程为，恰为椭圆的左焦点， ①当时，分别在圆弧和半椭圆上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ②当时，在半椭圆上， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ③当时，分别在半椭圆和圆弧上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； 综上，. （3）由（2）知，当时，， 当时，， 所以当时，取得最大值，此时在半椭圆上， 设直线的方程为， 联立得，， ， 点到直线的距离， 所以， 令，因为，所以，， ， 因为在上单调递增，所以即， 所以， 即的面积不是定值，取值范围是. 14.已知椭圆Γ方程为，B1、B2分别是椭圆Γ短轴上的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于B1、B2的点，是边长为4的等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程； (3)点R满足：，，试问：与的面积之比是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值4，理由见解析 【分析】（1）由是边长为4的等边三角形得，，进而求出c，结合椭圆离心率的定义即可求解； （2）由直线的一个方向向量是，可得直线所在直线的斜率，得到直线的方程，由椭圆方程联立，求得点坐标，得到的中点坐标，再求出，可得以为直径的圆的半径，则以为直径的圆的标准方程可求； （3）设,，,求出直线的斜率，进一步得到直线的斜率，得到直线的方程，同理求得直线的方程，联立两直线方程求得的横坐标，再结合,在椭圆上可得与的关系，由求解； 【详解】（1）由的边长为4的等边三角形，得，且． ，故椭圆的离心率为； （2）由（1）知椭圆的标准方程为， 直线的一个方向向量是，且， 直线所在直线的斜率，则直线的方程为， 联立，得， 由解得，． 则的中点坐标为，． 则以为直径的圆的半径． 以为直径的圆的标准方程为； （3）设,，,． 直线的斜率为，由，得直线的斜率为． 于是直线的方程为：． 同理，的方程为：． 联立两直线方程，消去，得． 在椭圆上， ， 从而． ， ． 题型04：斜率定值问题 15. （2026松江区二模）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的离心率； （2）设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； （3）若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）0 （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据已知确定椭圆参数，即可求离心率； （2）设直线，，联立椭圆方程并应用韦达定理，代入化简即可得； （3）由题设为的外心，由，从而有，得，设出三角形外接圆的方程，联立整理得一元二次方程，其与（2）中方程同解得到等比例关系求得，进而确定坐标并求得，即可得结论. 【小问1详解】 由题设，则，离心率为； 【小问2详解】 由（1）知，，即， 设直线，， 联立得，则， ， ， 所以； 【小问3详解】 由，则为的外心， 由，根据对称性知，则， 设过的圆为， 过得，， 联立圆与直线，整理得， 上述方程与有同解， 所以，可得， 外心，则， 所以为定值. 16.已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中存在定点满足某条件问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 17. （2025进才中学高三模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以所以. 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 题型05：参数问题 18.已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意知，，则①， 又因点在上， 所以②，联立①、②式可得， 解之可得，，所以椭圆方程为. （2）(i)由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，根据题意可知，如图所示， 令，则，即点坐标为， 设点到直线的距离为， 又因是的中点，所以点到直线为， 又因与的面积之比为1∶2， 所以，所以， 即点是的中点，所以可得点坐标为， 又因点在椭圆上，所以， 解之可得，所以点坐标为； (ii)设，，直线的方程为， 其中，则， 联立，可得， 根据韦达定理可知，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值. 19.．(24-25高二下·上海华东师范大学第三附属中学·期中)已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值，定值为0 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和离心率求出、，进而求出，即可得到双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程，然后联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有交点，从而确定是否存在满足条件的直线； （3）先设直线方程，与双曲线方程联立，根据判别式求出的取值范围，再用韦达定理得到与.设点坐标，利用在两条直线上得到相关等式.接着根据向量关系得出与表达式，最后将、代入表达式，结合前面得到的等式化简，得出为定值. 【详解】（1）因为的实轴长为4，所以，解得，又因为C的离心率为2，所以，所以，所以的方程为． （2）由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． （3）由题可知直线l的斜率存在，    设直线的方程为，即， 联立得， ，且， 解得，且， 由韦达定理得，①， 设，由在直线上，得，即②， 由在直线l上，得③， 由，得， 即，解得， 同理，由，得， 结合①②③，得 ，故为定值0． 题型06：角度定值问题 20.已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． (1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； (2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； (3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)是，理由见解析； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）先根据渐近线方程得出，再取切点为即可根据条件求出； （2）分直线斜率不存在，和斜率存在两种情况讨论，设直线方程，联立方程组，求，进而利用的面积为，即可发现直线与曲线相切； （3）切点为容易求出，切点不为时，先根据直线与曲线相切得出，再将直线与联立得出韦达定理，进而求出、，即可求出，进而得出为定值. 【详解】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故， 则，且在点处的切线方程为， 不妨取切点为，则切线方程为，此时， 则. （2）若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”. （3）若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 21. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是，定值为 【解析】 【分析】(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点的坐标代入即可求解； (2)要证，只需证即可； (3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. 【小问2详解】 由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. 【小问3详解】 由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 题型07：定直线问题 22.已知点F是椭圆C： (a>b>0)的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程； (3)若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析﹒ 【分析】(1)根据题意得：，，及，解得，，进而可得椭圆得方程． (2)分两种情况：当直线与轴重合时，，不合题意．当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得，，由，得，组成方程组解得，进而可得直线得方程． (3)设，，分两种情况讨论，当直线与轴重合时，当直线与轴不重合时，由，解得，∴点在定直线上． 【详解】（1）由题设：，，解得，， ∴椭圆的方程为． （2）当直线与轴重合时，，不合题意． 当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，，， 联立，消去整理得， 有①， ②， 由，得③， 联立①②③得，解得． ∴直线的方程为． （3）设，， 当直线与轴重合时，∵点在椭圆外，∴，同号， 由，得，解得， 当直线与轴不重合时，由(2)知，， ∵，，， ∵点在椭圆外，∴，同号， 由，得， 整理得，即， 解得，代入直线方程，得， ∴点在定直线上． 【点睛】本题考查椭圆得标准方程，直线与椭圆相交，等比数列，考查转化能力和计算能力． 23．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 【分析】（1）根据等轴双曲线的性质求其离心率. （2）先根据平面向量数量积的几何意义确定点在圆上，再与椭圆方程联立，根据点所在位置，可求点坐标. （3）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，再根据直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列列式，化简即可. 【详解】（1）若曲线是等轴双曲线，则， 所以，，其离心率为：. （2）当时，曲线：表示焦点在轴上的椭圆. 因为，且，根据平面向量数量积的几何意义可得：. 所以点在圆：上. 由，且点在第一象限，得点坐标为. （3）如图： 由得：， 整理得：. 因为，所以上述方程必定有两个不同的实根. 设，，则，. 设，因为直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列， 所以. 又，，所以， 所以， ， 所以或. 由 所以点N在直线或上. 即点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 24．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． (1)求C的标准方程； (2)若点是C上第一象限的动点，过点作直线l（l不与渐近线平行），若l与C只有一个公共点，且l与x轴相交于点M． （i）证明：； （ii）若点N在直线l上，且，那么点N是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）点N在定直线上 【分析】（1）由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）（i）利用两点间的距离公式化简、的表达式，证明出双曲线在点处的切线方程为，求出点的坐标，由此可证得； （ii）求出直线的方程，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，可得， 双曲线C的渐近线方程为，即， 点到其渐近线的距离为，所以， 因此，双曲线C的方程为． （2）（i）因为是C上第一象限的动点，则， 可得且，易知点、， 所以， ， 由双曲线的定义可得， 所以， 先证明：双曲线在点处的切线方程为． 联立，可得，又， 整理可得，解得， 所以双曲线在点P处的切线方程为， 由，令，可得，即点，且， 所以，因此． （ii）如下图所示： 直线的斜率为， 因为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 联立直线和直线l的方程， 消去y，可得，解得， 因此点N在定直线上． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题08 圆锥曲线的定点、定直线、定值问题 题型01：直线（圆）过定点问题 1. （2026长宁区二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求的离心率； （2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； （3）若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 2. （2025华东师大三附中高三三模）已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 3．（2026·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． (1)当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； (2)当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； (3)当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 4. （25-26奉贤区二模）已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线l与相切，求当时，的长； （3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 5. （25-26普陀区二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. （1）若点的坐标为，求双曲线的方程； （2）若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； （3）设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 6. （2022·上海长宁·统考一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l； (1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由； 7．（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的焦点为，准线为．    (1)若点在抛物线上，求所在直线的斜率； (2)若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； (3)若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 8.已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标； (3)当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由． 题型02：弦长或线段定值问题 9．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 10．(24-25高二下·上海实验中学·期中)已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点． (1)求椭圆的离心率； (2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标； (3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 11.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值． 12．（2026·上海奉贤·一模）椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； (3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 题型03：面积定值问题 13. 如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为． （注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点） (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数； (3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围． 14.已知椭圆Γ方程为，B1、B2分别是椭圆Γ短轴上的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于B1、B2的点，是边长为4的等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程； (3)点R满足：，，试问：与的面积之比是否为定值？并说明理由． 题型04：斜率定值问题 15. （2026松江区二模）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的离心率； （2）设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； （3）若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 16.已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 17. （2025进才中学高三模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 题型05：参数问题 18.已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 19.．(24-25高二下·上海华东师范大学第三附属中学·期中)已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 题型06：角度定值问题 20.已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． (1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； (2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； (3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 21. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 题型07：定直线问题 22.已知点F是椭圆C： (a>b>0)的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程； (3)若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上． 23．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 24．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． (1)求C的标准方程； (2)若点是C上第一象限的动点，过点作直线l（l不与渐近线平行），若l与C只有一个公共点，且l与x轴相交于点M． （i）证明：； （ii）若点N在直线l上，且，那么点N是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $