第40练 曲线与方程-2021年高考数学（文）一轮复习小题必刷

第40练 曲线与方程 刷基础 1．（2020·云南高三其他模拟（文））已知圆 过点 且与直线 相切，则圆心 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设圆心 ，据题意有 ， 化简有 ． 故选：B． 2．（2020·全国高三专题练习）在平面内， ( 为常数，且 )，动点 满足： ，则点 的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 【答案】A 【详解】 不妨设 ， ，设 ， 因为 ，所以 ，即 ， 解得 ， 所以点 的轨迹为圆. 故选：A 3．（2020·四川内江市·高三三模（文））已知点 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】 ∵动点 满足 ， ∴ ， ∴ ，解得 ， ∴点 的轨迹是抛物线. 故选: D 4．（2020·山东高三专题练习）在直角坐标系xOy中，动点A在抛物线y2＝x上，点P满足 ，则点P的轨迹方程是（ ） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 【答案】B 【详解】 设 ， ， ∵ ，∴ ，即 ， 解得 ，而 在已知抛物线上， ∴ ，即 ，整理得 ． 5．（2020·上海高三其他模拟）在平面直角坐标系内，到点 和直线 ： 距离相等的点的轨迹是（ ） A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【详解】 由题意，点 在直线 上，即动点到点A的距离与动点到直线 的距离相等，所以动点的轨迹是一条过点A且与直线l垂直的直线. 故选：A. 6．（2020·广东高三其他模拟（文））已知动圆C与圆 内切，与圆 外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设圆C的半径为R，由题意可知 ， 两圆的圆心为： ，∴ ， 可知点C的轨迹为以 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， ∴ ， 则动圆圆心C的轨迹方程为 . 故选：B 7．（2020·全国高三一模（文））过椭圆内一点R（1,0）作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【解析】 试题分析：设，，P（x,y），则，， 两式相减得， 将代入可知轨迹为椭圆，故选B． 刷能力 1．（2020·上海静安区·高三月考）方程 的曲线 所满足的性质为（ ） ①不经过第二､四象限； ②关于 轴对称； ③关于原点对称； ④关于直线 对称； A．①③ B．②③ C．①④ D．①② 【答案】A 【详解】 解：若 点在曲线 上，则 ， 令 ， ，则 ，故点 不在曲线 上，即不关于 轴对称； 令 ， ，则 ，即 ，故点 在曲线 上，即关于原点对称； 令 ， ，则 ，故点 不在曲线 上，即不关于直线 对称； 若 且 时， ； 且 时， 即曲线不经过第二､四象限 故正确的有：①③． 故选：A 2．（2020·安徽庐阳区·合肥一中高三其他模拟（文））已知点A，B关于坐标原点O对称， ，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线 相切，若存在定点P，使得当A运动时， 为定值，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上， 设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2， ∵⊙M与直线2y﹣1＝0相切，∴|MA|＝|y |， ∴|y |2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2 ， 整理得x2＝﹣y， ∴M的轨迹是以F（0， ）为焦点，y 为准线的抛物线， ∴|MA|﹣|MP|＝|y |﹣|MP| ＝|y |﹣|MP| |MF|﹣|MP| ， ∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（0， ）， ∴存在定点P（0， ）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值． 故选：C. 3．（2020·湖北高考模拟（文））在平面直角坐标系中， ，点 满足 ，则 的最小值为（　　） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】 ∵点 （ ）满足 ， ∴ = ，即 + = + ]， 化简得a2+b2=4， 则 + )=4+1+ + =5+4=9，（当且仅当 = 等号成立） ∴ 的最小值为 , 故选D. 4．（2020·安徽高三一模（文））关于曲线 ，有下述四个结论： ①曲线C是轴对称图形； ②曲线C关于点 中心对称； ③曲线C上的点到坐标原点的距离最小值是 ； ④曲线C与坐标轴围成的图形的面积不大于 ， 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】 对于①，因为曲线C上任意一点 关于 的对称点 也在曲线C上，所以曲线C关于 对称，故①正确．