专题03 最值问题（训练篇A）-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题3 最值问题 训练篇A 专题03 最值问题 训练篇A 作者：上海市特级教师 文卫星 1．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　) A．[2,6]　　　　　　　　 B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 解 选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2， 可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝. 由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2. 综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]． 2．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B. C. D. 解 选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2|＝· ＝·＝·， 当t＝0时，|AB|max＝. 3．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________． 解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离， 故d2＋|PF|的最小值为＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1. 4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线，与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 解 选C　设圆上的点为(x0，y0)，其中x0＞0，y0＞0，则有x＋y＝1，且切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令y＝0，x＝0得A，B，则|AB|＝＝≥＝2，当且仅当x0＝y0时，等号成立． 5．已知点P是椭圆＋＝1上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)