专题15 圆锥曲线范围最值问题（9大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题15 圆锥曲线范围最值问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 以弦长或线段长度为背景的最值与范围问题 题型02 以面积为背景的最值与范围问题 题型03 以斜率为背景的最值与范围问题 题型04 以向量运算为背景的最值与范围问题 题型05 参数的取值范围问题 模块三、综合实战演练 一、解决圆锥曲线范围最值问题的策略： 一、第一步：几何分析，初步缩限+找最值特征 先利用圆锥曲线的定义、几何性质分析最值/范围的直观特征，减少代数计算量，明确求解方向： 1. 定义转化：椭圆/双曲线将焦半径转化为“2a±另一焦半径”，抛物线将焦半径转化为“点到准线的距离”，把斜向距离转化为水平/竖直距离，简化长度类最值； 2. 几何特征：弦长最值看“圆心/焦点到直线的距离”，面积最值抓“定底看高、定高看底”，斜率最值结合曲线的渐近线/顶点特征； 3. 初步缩限：根据曲线本身的范围（如椭圆，双曲线）、点的位置（曲线内/外），先确定参数的初步取值范围，避免后续无效计算。 二、第二步：代数建模，单参表示目标量 将所求的弦长、面积、斜率、向量运算等目标量，用单一参数表示为函数形式（核心：少参=少运算），建模优先选以下思路： 1. 选参原则：优先选斜率k、截距m、角度θ、动点参数t（如椭圆上点设），避免多参数；动直线优先设点斜式/斜截式，斜率不存在单独讨论； 2. 目标量转化： - 弦长：套公式，焦点弦优先用曲线定义简化； - 面积：选水平/竖直底高 或 向量叉乘，避开斜向距离； - 斜率/向量：斜率用表示，向量运算直接坐标化（数量积、模长均转化为坐标代数式）； 3. 设而不求：联立直线与曲线方程，用韦达定理得，整体代换目标量，不单独求点坐标，减少根式和高次运算。 三、第三步：找约束条件，定参数边界 所有参数均有几何约束，需找全条件列不等式，确定参数的取值范围，这是求值域的前提，核心约束有3类： 1. 相交约束：直线与圆锥曲线有交点→联立后一元二次方程二次项系数≠0+判别式Δ≥0，这是最基础、最易忘的约束； 2. 曲线自身约束：如椭圆、抛物线中，双曲线，直接限定点的坐标范围，转化为参数不等式； 3. 几何特征约束：如斜率存在/不存在、点在曲线内/外（椭圆内点）、线段长度/面积为正，结合题意补充不等式。 关键：多个约束条件取交集，确保参数范围的准确性。 四、第四步：求函数值域，得最值/范围 将目标量表示为单参数函数（t为参数，如k、m、θ），结合参数的边界范围，用对应方法求值域，方法按优先度排序如下： 1. 基本不等式：适用于和定积最大、积定和最小的形式（如），注意“一正二定三相等”，相等条件需在参数范围内； 2. 二次函数配方法：适用于二次函数形式（），结合对称轴与参数范围的位置关系，求顶点/端点值； 3. 三角函数有界性：适用于参数设为角度θ的情况（如），利用求最值； 4. 分离常数/导数：适用于分式函数（如），分离常数转化为反比例型函数，或用导数求单调区间，进而求值域； 5. 换元法：适用于含根号、高次的函数，通过换元（如）转化为熟悉的函数形式，再求解。 题型01 以弦长或线段长度为背景的最值与范围问题 1．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； (3)若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 2．已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 3．已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点作两条直线，，其中垂直于轴，且与交于，两点（点在第二象限），与交于，两点，直线，交于点． (1)求的方程； (2)若的斜率为，且点在点的上方，求点的坐标； (3)求的最小值． 4．已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 5．已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. (1)求曲线的方程： (2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 核心：用参数表弦长，结合曲线约束/代数条件求函数值域，焦点弦优先用定义简化。 1. 建模：设核心参数（斜率、参数），联立方程得韦达定理，套弦长公式；焦点弦用曲线定义转化（如抛物线），消去复杂根式。 2. 找约束：由（直线与曲线相交）得参数取值范围，或结合曲线几何特征（如椭圆上点的横/纵坐标范围）缩参。 3. 求最值/范围：将弦长表示为单参数函数（如），用基本不等式、二次函数单调性、导数求值域；特殊情况（如垂直对称轴的弦）直接求极值。 关键：弦长化简为单参数函数，优先用定参数边界。 题型02 以面积为背景的最值与范围问题 1．已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且． （i）求证：； （ii）设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 2．已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，过点的直线交，于，两点，求面积的取值范围． 3．如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到，即已知向量绕着原点O沿逆时针方向旋转θ角可得到向量． (1)求证：． (2)若曲线E上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为． （i）求曲线E的方程； （ii）设直线l过定点与曲线E交于点直线m过定点与曲线E交于点且，求四点构成的四边形面积的最小值． 4．将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 5．已知双曲线的离心率为2，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线右支上位于轴上方的一点，直线交轴于点． （ⅰ）设双曲线的左、右顶点分别为，直线与直线分别交直线于两点，若，求点坐标； （ⅱ）设双曲线的右焦点为，点关于轴的对称点为点，直线和双曲线的右支交于点，当直线的倾斜角时，求面积的取值范围． 核心：将面积转化为弦长×高/向量叉乘形式，化单参数函数后求值域，优先选简易面积公式减运算。 1. 建模：选最优面积公式——三角形优先水平/竖直底高（定底看高、定高看底），或向量叉乘；多边形拆分为三角形求和，用参数表示弦长（韦达）和高（点到直线距离）。 2. 找约束：由、曲线坐标范围、参数几何意义（如斜率存在性）定参数范围。 3. 求最值/范围：将面积化为单参数函数（如），用基本不等式（和定积最大）、二次函数配方法、三角函数有界性求最值；面积范围直接求函数值域。 关键：避开斜向底和高，减少根式计算，优先消参为整式/分式函数。 题型03 以斜率为背景的最值与范围问题 1．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 2．已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 3．已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. (1)求的值； (2)若，求的方程； (3)记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 4．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，、分别为、的离心率，且，点、分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线右支于、两点，若直线、的斜率分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)试探究是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； (3)求的取值范围. 5．已知椭圆：（）的长轴长为，离心率为. (1)求的方程； (2)点，分别是的左、右焦点，过点的直线交于，两点，连接交于另一点，连接交于另一点. （ⅰ）为坐标原点，若的面积为，求的方程； （ⅱ）若点在第一象限，求直线斜率的取值范围. 核心：用参数表斜率/斜率和/积，结合曲线约束求函数值域，斜率不存在单独讨论。 1. 建模：设相关点坐标，用表示斜率（或斜率和/积），结合韦达定理、点差法消参，化为单参数函数（如）。 2. 找约束：由曲线坐标范围（如椭圆）、、斜率几何意义（如倾斜角范围）定参数边界。 3. 求最值/范围：一次/二次函数用单调性/配方法，分式函数用分离常数/基本不等式，含根号用换元法；若为斜率范围，直接解不等式。 关键：点差法适用于中点弦斜率问题，直接得斜率与曲线参数的关系，简化建模。 题型04 以向量运算为背景的最值与范围问题 1．已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为e,O为坐标原点，点是双曲线上任意一点． (1)证明：； (2)若. ①求双曲线的离心率； ②过且斜率为的直线交双曲线于A，B两点，若，求的取值范围． 3．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的右焦点为，若点在椭圆上，满足，求直线的斜率． (3)过点的动直线与椭圆有两个交点，在y轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 4．已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 5．如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.    (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围； (3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围. 核心：将向量运算坐标化，转化为代数表达式后求值域，向量性质直接转约束条件。 1. 建模：向量条件坐标化——数量积常数，共线坐标成比例，垂直，将向量表达式化为含参数的代数式。 2. 找约束：由、曲线坐标范围、向量参数意义（如表示同向）定参数范围。 3. 求最值/范围：将向量表达式化为单参数函数，用二次函数值域、基本不等式、三角函数有界性求解；若为向量模长最值，先平方消根号再求值域。 关键：跳过向量几何推导，直接坐标化转化，避免复杂分析。 题型05 参数的取值范围问题 1．已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4. (1)求的方程； (2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值. 2．已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点． (1)P为椭圆C上一动点，求的最大值； (2)设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值． 3．已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 4．已知双曲线 . (1)若双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，求 的值； (2)在(1)的条件下，若过点 且斜率为 的直线与双曲线 有且只有一个公共点，求 的值； (3)若双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，过点 的直线 交双曲线 于不同的两点 、 ，连接 并延长交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围. 5．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)已知，，三点（点在点和点之间）在抛物线上． （ⅰ）若点，求周长的最小值； （ⅱ）过，，三点作抛物线的三条切线，分别两两相交于点，，，如图所示，直线，分别交轴于点，，是否存在常数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 核心：根据题设几何条件（相交、相切、定点约束）列不等式/等式，解不等式得参数范围，判别式与曲线范围为核心约束。 1. 找约束条件： - 直线与曲线相交：（联立后一元二次方程系数不为0+判别式非负）； - 点在曲线内/外：如椭圆内点，抛物线内点； - 几何特征约束：如弦长≥定值、面积≤定值、斜率存在/不存在； 2. 列不等式：将几何条件转化为含参数的不等式（如由得），多个约束取交集。 3. 解范围：解一元二次/分式/绝对值不等式，结合参数几何意义（如斜率、截距、比值的实际范围）取舍，最终得参数取值范围。 1．设椭圆的左顶点为A． (1)求的离心率； (2)设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标； (3)设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围． 2．已知椭圆的中心为O，离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线，与y轴交于点P，过点P的直线l与C分别交于点A，B，椭圆的下焦点为F，直线，分别交直线于点M，N，记直线l，，的斜率分别为k，，． ①若，探究是否为定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； ②若，使得O，F，M，N四点共圆，求k的取值范围． 3．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且． (1)求C的方程； (2)已知M，N是直线上的两点，且满足，记直线，的斜率分别为，． （i）求的值； （ii）若直线与C交于另外一点P，直线与C交于另外一点Q，求点B到直线的距离的最大值． 4．已知双曲线，过点的直线与双曲线交于、两点. (1)若，且直线垂直于轴，求； (2)若，设在第一象限，双曲线的左顶点为，若为等腰三角形，求点的横坐标； (3)若分别为双曲线的左右焦点，点是点关于轴对称的点，若存在直线使得，求实数的取值范围. 5．设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点为椭圆C上的动点，椭圆C的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)，为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点． （i）求点的轨迹方程； （ii）求的最大值. 7．已知椭圆，点为上关于原点对称的两点，点为上异于的一点，点满足，其中为实数． (1)求椭圆的离心率； (2)若点的坐标为，，且直线经过点，求点的坐标； (3)若存在点，使得直线与直线垂直，且直线与有两个公共点，求实数的取值范围． 8．已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，点在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （i）求点的轨迹方程； （ii）设，，点不在x轴上，若，求的取值范围． 9．椭圆的焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，当时有． (1)求的值及椭圆的标准方程； (2)已知线段的中点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，为坐标原点，记的面积为的面积为，求的取值范围． 10．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上，直线交直线于点，直线交直线于点. ①求的取值范围； ②当取最小值时，记以为直径的圆为圆，过点的直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点，若，求的取值范围. 11．已知椭圆：的左、右顶点分别为､，直线：交椭圆于､两点，其中在轴上方． (1)当时，若，求的值； (2)过点､分别作直线：的垂线，垂足分别为､，设直线、直线的斜率分别为､： （i）证明：； （ii）若存在使得成立，求实数的取值范围． 12．已知椭圆，双曲线的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭圆焦点，O为坐标原点，过点作斜率为k的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B两点. (1)求双曲线的方程； (2)过点A，B两点分别作双曲线的切线，设交于点Q，直线OQ与直线l交于点R，求线段OR长度的取值范围. 13．已知椭圆的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若不过，且直线,的斜率成等差数列，求的取值范围； (3)若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值. 14．已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点. （i）当最大时，求点的坐标； （ii）若，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 圆锥曲线范围最值问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 以弦长或线段长度为背景的最值与范围问题 题型02 以面积为背景的最值与范围问题 题型03 以斜率为背景的最值与范围问题 题型04 以向量运算为背景的最值与范围问题 题型05 参数的取值范围问题 模块三、综合实战演练 一、解决圆锥曲线范围最值问题的策略： 一、第一步：几何分析，初步缩限+找最值特征 先利用圆锥曲线的定义、几何性质分析最值/范围的直观特征，减少代数计算量，明确求解方向： 1. 定义转化：椭圆/双曲线将焦半径转化为“2a±另一焦半径”，抛物线将焦半径转化为“点到准线的距离”，把斜向距离转化为水平/竖直距离，简化长度类最值； 2. 几何特征：弦长最值看“圆心/焦点到直线的距离”，面积最值抓“定底看高、定高看底”，斜率最值结合曲线的渐近线/顶点特征； 3. 初步缩限：根据曲线本身的范围（如椭圆，双曲线）、点的位置（曲线内/外），先确定参数的初步取值范围，避免后续无效计算。 二、第二步：代数建模，单参表示目标量 将所求的弦长、面积、斜率、向量运算等目标量，用单一参数表示为函数形式（核心：少参=少运算），建模优先选以下思路： 1. 选参原则：优先选斜率k、截距m、角度θ、动点参数t（如椭圆上点设），避免多参数；动直线优先设点斜式/斜截式，斜率不存在单独讨论； 2. 目标量转化： - 弦长：套公式，焦点弦优先用曲线定义简化； - 面积：选水平/竖直底高 或 向量叉乘，避开斜向距离； - 斜率/向量：斜率用表示，向量运算直接坐标化（数量积、模长均转化为坐标代数式）； 3. 设而不求：联立直线与曲线方程，用韦达定理得，整体代换目标量，不单独求点坐标，减少根式和高次运算。 三、第三步：找约束条件，定参数边界 所有参数均有几何约束，需找全条件列不等式，确定参数的取值范围，这是求值域的前提，核心约束有3类： 1. 相交约束：直线与圆锥曲线有交点→联立后一元二次方程二次项系数≠0+判别式Δ≥0，这是最基础、最易忘的约束； 2. 曲线自身约束：如椭圆、抛物线中，双曲线，直接限定点的坐标范围，转化为参数不等式； 3. 几何特征约束：如斜率存在/不存在、点在曲线内/外（椭圆内点）、线段长度/面积为正，结合题意补充不等式。 关键：多个约束条件取交集，确保参数范围的准确性。 四、第四步：求函数值域，得最值/范围 将目标量表示为单参数函数（t为参数，如k、m、θ），结合参数的边界范围，用对应方法求值域，方法按优先度排序如下： 1. 基本不等式：适用于和定积最大、积定和最小的形式（如），注意“一正二定三相等”，相等条件需在参数范围内； 2. 二次函数配方法：适用于二次函数形式（），结合对称轴与参数范围的位置关系，求顶点/端点值； 3. 三角函数有界性：适用于参数设为角度θ的情况（如），利用求最值； 4. 分离常数/导数：适用于分式函数（如），分离常数转化为反比例型函数，或用导数求单调区间，进而求值域； 5. 换元法：适用于含根号、高次的函数，通过换元（如）转化为熟悉的函数形式，再求解。 题型01 以弦长或线段长度为背景的最值与范围问题 1．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； (3)若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)和 (3) 【分析】（1）根据条件列出方程即可求解； （2）联立抛物线方程，消元后得方程，分类讨论，根据方程有一根求解即可； （3）设过P点的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出关于直线斜率的方程，再由切线与准线交点的纵坐标表示，利用韦达定理化简，换元求取值范围即可. 【详解】（1）由可知， 因为，所以， 即，解得， 代入抛物线方程，， 所以点的坐标为或. （2）联立方程，可得，即， 因为只有一个交点， 所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时； 当时，则需，解得， 此时. 综上，直线的方程为和. （3）设， 由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为， 即， 由圆知，圆心，半径， 所以，即， 设， 代入切线方程可得，， 所以，（其中分别是的斜率） 所以， 又， 令，则， 令，则， 所以， 因为，所以，所以， 故求的取值范围为. 2．已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据已知列方程组求得即可求出椭圆的方程； （2）①直线与圆相切得到，再利用直线与椭圆相交利用韦达定理得到即可求证； ②利用结合①可得答案. 【详解】（1）依题意，解得， ∴椭圆的方程为． （2）①∵直线与相切， ∴，即． 联立消去得， 设，则， 所以 ， ∴． ②直线与椭圆交于不同的两点，∴， ∴， 由①知，∴，即， ∴，又，∴的取值范围为． 3．已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点作两条直线，，其中垂直于轴，且与交于，两点（点在第二象限），与交于，两点，直线，交于点． (1)求的方程； (2)若的斜率为，且点在点的上方，求点的坐标； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据长轴长及离心率求出，，进而求出，即可得到椭圆方程. （2）联立直线与椭圆方程求出点，坐标，联立直线与椭圆方程求出点，坐标，利用两点式求出直线，方程，联立求解即可. （3）设出点，，及直线方程，利用三点共线得到，联立直线与椭圆方程，得到及，得到点所在直线，结合点关于直线对称求解最小值即可. 【详解】（1）设的半焦距为． 由题可得，解得， 所以的方程为． （2）由题意得的方程为，即， 联立，整理得，即， 解得或． 将和分别代入的方程，可得和， 又点在点的上方，所以，． 由题意得的方程为， 将代入的方程，可得，解得， 又在第二象限，可得，． 所以直线：，直线：， 联立直线，的方程，可得， 故点的坐标为． （3），，，的斜率为，则其方程为． 由，，三点共线可得， 因此， 同理，可得， 故． 令，则，，即， 与的方程联立，可得，， 则，， 所以， 所以，即， 化简得， 代入，可得点在直线：上． 作点关于的对称点，则，当且仅当为与的交点时等号成立． 设，由对称及垂直关系可得，解得，即， 于是， 故的最小值为． 4．已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和渐近线方程求出，值，即可求出标准方程. （2）①设点，，结合的外接圆过点设出外接圆方程，再结合点在双曲线上可得；设出直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，进而得到；利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离与圆的半径比较即可. ②分别求出和，结合得到，根据直线与双曲线相交求出的范围，即可求出的范围. 【详解】（1）已知双曲线实轴长为，则，所以. 因为双曲线的一条渐近线为，即，所以，即. 所以双曲线的标准方程为. （2）①设，，则，均满足. 因为的外接圆经过点，所以可设的外接圆方程为. 所以，， 两式相减得，，故外接圆方程为. 则，，所以. 又，，代入中整理得，， 因为，所以，所以直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，联立双曲线方程整理得， 当时，，，， 则， 所以，即. 原点到直线的距离为，等于圆的半径， 故直线与圆相切. ②直线与渐近线交于，与渐近线交于. 则. 直线与双曲线相交的弦长. 故. 由直线与双曲线相交可得，即且， 又点、、是双曲线上不同的三点，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 综上，的取值范围为. 5．已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. (1)求曲线的方程： (2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意列出表达式，化简即可； （2）方法一：设，表示出，通过 ，的范围即可求出；方法二：设，分情况讨论，若直线的斜率存在且设为，联立得，再设，通过函数的单调性判断即可；方法三：设，直线为，联立得到，设，通过函数的单调性即可判断. 【详解】（1）由题意知，化简得， 故曲线的方程为； （2）方法一：设，由题意知 所以， 因为，所以，又， 又是直线被椭圆截得的弦在轴上投影的长度， 当直线为轴时，该弦为长轴，投影长度取最大值4，故， 所以，当或时取等. 故的最大值为2. 方法二：设，由题意知 若直线的斜率存在设为，则， 联立，消去得， 易知，所以. 所以， 故， 设，则， 所以， 易知在递减，所以时的最大值为2， 若直线的斜率不存在时，易知，故的最大值为2 方法三：设，由题意知 由题意知直线设为，则， 联立，化简得， 易知，所以， 所以 故， 设，则， 设则 因为在递减，所以 当直线的斜率为0时，易知，故的最大值为2. 核心：用参数表弦长，结合曲线约束/代数条件求函数值域，焦点弦优先用定义简化。 1. 建模：设核心参数（斜率、参数），联立方程得韦达定理，套弦长公式；焦点弦用曲线定义转化（如抛物线），消去复杂根式。 2. 找约束：由（直线与曲线相交）得参数取值范围，或结合曲线几何特征（如椭圆上点的横/纵坐标范围）缩参。 3. 求最值/范围：将弦长表示为单参数函数（如），用基本不等式、二次函数单调性、导数求值域；特殊情况（如垂直对称轴的弦）直接求极值。 关键：弦长化简为单参数函数，优先用定参数边界。 题型02 以面积为背景的最值与范围问题 1．已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且． （i）求证：； （ii）设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据离心率、椭圆之间关系直接求解即可； （2）（i）由椭圆第三定义和已知斜率关系可证得，由此可结论； （ii）由，结合韦达定理可求得，得到直线方程；利用点差法可求得直线方程，进而得到坐标；根据弦长公式、点到直线距离公式可表示出四边形的面积，由函数值域求法可求得结果. 【详解】（1）椭圆经过点，， 设椭圆的半焦距为，则，，， 椭圆的方程为：. （2）（i）连接，由椭圆方程知：，，设，， ，， ， 又，，即，； （ii）易知直线斜率不为，可设直线方程为：， 由得：，则， ，， ，， 即， ， 又，， 整理可得：，解得：， ，，，， 当时，与轴重合，即，此时； 当时，， ，则直线，即， 由得：，， 则点到直线的距离分别为，，且与异号； ， ， ， ，且，即； 综上所述：的取值范围为. 2．已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，过点的直线交，于，两点，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意可得，，再结合，求解即可； （2）先求出直线过点且与轴垂直时，；再求直线过点且与轴不垂直时的情况，结合韦达定理、弦长公式、转化思想及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为． 所以，， 解得， 又因为， 解得， 所以椭圆的方程为 （2）当直线过点且与轴垂直时， 则直线的方程为， 由，可得或， 不妨设， 此时； 当直线过点`且与轴不垂直时， 设直线的方程为， （当时，三点共线，不满足题意） 由，可得， 则， 设， 则， 所以， 设点到直线的距离为， 则， 所以 ， 令， 则，， 所以 ， 又因为， 所以； 综上，. 3．如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到，即已知向量绕着原点O沿逆时针方向旋转θ角可得到向量． (1)求证：． (2)若曲线E上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为． （i）求曲线E的方程； （ii）设直线l过定点与曲线E交于点直线m过定点与曲线E交于点且，求四点构成的四边形面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）． 【分析】 （1）利用两角和差公式来证明即可； （2）（i）利用第一问的坐标代换即可得到曲线方程；（ii）利用直线与椭圆联立方程组，再结合韦达定理可求得弦长，再求面积，最后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1） 证明：点是角α终边上的点（异于原点），， 则， 经过逆时针旋转θ到后， 可得： 即，问题得证； （2） （i）将曲线E绕着原点O沿逆时针方向旋转得到曲线， 设为曲线E上点旋转后的对应点， 则， 又因为， 所以， 整理得，即曲线E的方程为； （ⅱ）由（i）直线l过定点与曲线交于， 直线m过定点与曲线交于且， 则与交点满足，且在椭圆内部， 当与x重合时，则，， 所以此时四边形的面积为：； 当与x不重合时，如图，设直线， 与椭圆联立，消可得：， 设交点，则 所以 因为，所以可设直线， 又与椭圆联立，消可得：， 设交点，则 所以， 所以此时四边形的面积为： 当且仅当时取等号，又， 所以四点构成的四边形面积的最小值为． 4．将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）待定系数法设出抛物线的表达式，代入点的坐标求解即可； （2）联立、与抛物线方程，求出、的坐标，利用斜率公式求解即可； （3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用函数求最值即可. 【详解】（1）由题意，设所求抛物线的方程为：， 点代入抛物线的方程得：， 所以抛物线的标准方程为：. （2）由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. （3）由（2）可知， 设直线的表达式为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 5．已知双曲线的离心率为2，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线右支上位于轴上方的一点，直线交轴于点． （ⅰ）设双曲线的左、右顶点分别为，直线与直线分别交直线于两点，若，求点坐标； （ⅱ）设双曲线的右焦点为，点关于轴的对称点为点，直线和双曲线的右支交于点，当直线的倾斜角时，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用双曲线的离心率和焦距的定义，结合的关系，可得，从而得到标准方程； （2）（i）先设出点的坐标，写出直线的方程，求出它们与直线的交点，再利用的条件，结合双曲线方程联立求解即可； （ii）借助向量的坐标运算判断出三点共线，然后根据直线的倾斜角的范围确定斜率的范围，最后结合面积公式化简，通过换元法即得面积取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为4，即，所以， 由，得， 又因为， 因此双曲线的标准方程为. （2）（i）由题意知：双曲线的左、右顶点分别为， 设点，有， 则直线，当时，有， 直线，当时，有， 所以，即， 又，即，代入上式化简得：， 两边平方化简得，故，代入双曲线得，因此. （ii）因为右焦点，， 设直线，联立方程组，化简得：，由韦达定理得：，， 又因为，， 且 ， 所以，点三点共线， 设直线，，， 联立方程组，整理得， 所以，， 又 令， 则． 核心：将面积转化为弦长×高/向量叉乘形式，化单参数函数后求值域，优先选简易面积公式减运算。 1. 建模：选最优面积公式——三角形优先水平/竖直底高（定底看高、定高看底），或向量叉乘；多边形拆分为三角形求和，用参数表示弦长（韦达）和高（点到直线距离）。 2. 找约束：由、曲线坐标范围、参数几何意义（如斜率存在性）定参数范围。 3. 求最值/范围：将面积化为单参数函数（如），用基本不等式（和定积最大）、二次函数配方法、三角函数有界性求最值；面积范围直接求函数值域。 关键：避开斜向底和高，减少根式计算，优先消参为整式/分式函数。 题型03 以斜率为背景的最值与范围问题 1．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据距离公式以及题干条件化简得出点的轨迹方程； （2）（i）求出点、的坐标，直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，点，利用角平分线定理得出，结合两点间的距离公式解出的值，即可证得结论成立； （ii）先证明、、三点共线，可得出，根据点在第二象限求出的取值范围，再利用二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 由此得，平方化简得，即． （2）（i）令，代入，得，解得，故、， 设直线的方程为，与曲线的方程联立得： ，则， 所以，解得， 故，故， 设点，则， 由题意得，， 因为平分，由角平分线定理得，即， 化简得，即，解得， 所以点在定直线上． （ii）连接并延长交双曲线于点，下证点与点重合， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 将直线与曲线的方程联立得：， 所以，， 故，则， 由（i）得，则，故、、三点共线． 又因为、、三点共线，即与点重合，所以， 因为点在第二象限，则，解得， 所以． 2．已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据椭圆过的点，代入方程求出即可得解； （2）设，利用三角形面积比求出即可证明； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，由斜率公式及韦达定理化简即可得出，据此求出范围. 【详解】（1）将点和点代入（）得， 解得，，所以的方程为． （2）由（1）知，， 设，，直线与轴的交点为， 则，解得． 即直线过定点． （3）设直线的方程为，，． 联立可得， 则，，且． 于是 ，（结合第（2）问） ，，即的范围是． 3．已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. (1)求的值； (2)若，求的方程； (3)记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标为，求得； （2）由（1）得抛物线的方程，设直线的方程为，并与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可得参数，从而得到直线的方程； （3）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得坐标关系，进而用点坐标表示；用坐标表示出点坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，得坐标关系，进而可用表示，利用基本不等式即可得的最小值. 【详解】（1）因为是的焦点，所以，得. （2）由（1）知，抛物线的方程为. 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 因为，所以. 由，解得，， 则的方程为. （3）由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 由为轴上异于的点，且，得， 则直线的方程为， 即.设. 由得， 则，， 则. 由，得. 又， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 4．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，、分别为、的离心率，且，点、分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线右支于、两点，若直线、的斜率分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)试探究是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； (3)求的取值范围. 【答案】(1)； (2)是，； (3) 【分析】‘（1）根据题目条件列出方程，求出，得到双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出与的比值； （3）求出与的范围，结合函数单调性求取值范围. 【详解】（1）由题意可设双曲线：， 则， 解得，所以双曲线的方程为. （2）设，，直线的方程为， 由得， 则，，且， 所以 ； (或由韦达定理得，即， 所以 ) 即与的比值为定值. （3）设直线：， 由得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为， 由韦达定理得，解得. 因为点在双曲线的右支上，所以， 解得，即， 同理可得， 由（2）中结论得， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在和上严格减， 故， 故的取值范围为. 5．已知椭圆：（）的长轴长为，离心率为. (1)求的方程； (2)点，分别是的左、右焦点，过点的直线交于，两点，连接交于另一点，连接交于另一点. （ⅰ）为坐标原点，若的面积为，求的方程； （ⅱ）若点在第一象限，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）结合，可求得椭圆方程； （2）对于（i），设直线方程，，与椭圆方程联立，再结合，可求的方程;对于（ii）设直线的方程并与椭圆方程联立，求出点与点的坐标；再由斜率公式求的斜率，结合点在第一象限，即可求得斜率的范围. 【详解】（1）由题知解得 故椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，. 由题知的斜率不为零，故设直线的方程为，，， 联立整理得， 故，且，， ，解得， 所以直线的方程为，即. （ⅱ）由题意，设，， 直线：，则有， 联立整理得， 则，，. 所以又， 则，则， 同理可得，， 因为在第一象限，所以，， 故， 由于位于第一象限，故，因此. 核心：用参数表斜率/斜率和/积，结合曲线约束求函数值域，斜率不存在单独讨论。 1. 建模：设相关点坐标，用表示斜率（或斜率和/积），结合韦达定理、点差法消参，化为单参数函数（如）。 2. 找约束：由曲线坐标范围（如椭圆）、、斜率几何意义（如倾斜角范围）定参数边界。 3. 求最值/范围：一次/二次函数用单调性/配方法，分式函数用分离常数/基本不等式，含根号用换元法；若为斜率范围，直接解不等式。 关键：点差法适用于中点弦斜率问题，直接得斜率与曲线参数的关系，简化建模。 题型04 以向量运算为背景的最值与范围问题 1．已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）先设点，根据题设条件推得，结合离心率代入求出即可； （2）设，利用向量共线的坐标运算即可求解； （3）设，由联立方程组可得，再结合平面向量共线，分类讨论的取值即可. 【详解】（1）的渐近线方程为，设双曲线上一点， 则， 又在上，所以， 即，代入可得， 又，代入可得，所以的方程为. （2）由（1）易得，设， 由，可得， 即得，(*)， 又，所以， 即， ，即， 又，所以. 因为，所以，， 又，所以， 即， 所以，所以， 又，所以， 所以， 解得，即为定值. （3）设， 由消元得， 由，解得， 则有. 因为，所以 因为点在上，所以， 即， 因， 故得，即， 即， 代入韦达定理，可得 整理得. 当时，等式左边，右边，因为左边右边，不合题意； 当时，因，则，解得，产生矛盾，舍去； 当时，，解得或，故或. 综上，的取值范围为. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为e,O为坐标原点，点是双曲线上任意一点． (1)证明：； (2)若. ①求双曲线的离心率； ②过且斜率为的直线交双曲线于A，B两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；② 【分析】（1）利用两点间距离公式结合点在双曲线方程上进行化简； （2）①参考（1）的结论写出后，进行化简计算；②设出直线与点，联立直线与双曲线方程，用坐标表示出向量相等，再结合韦达定理进行化简，最后结合的范围与函数单调性求出的范围. 【详解】（1）证明：因为点在双曲线上，所以， 得证． （2）①由（1）同理可知， 所以， 由于点在双曲线上，则或，故，因此， 又，，故， 即. 因为， 所以，即，所以. ②设， 因为，所以，所以 由①知双曲线可化为，直线， 将直线代入中消去整理得，， 所以， 又由得， 消去得， 因为在区间[2，3]上单调递增且恒大于2， 所以在区间[2，3]上单调递减， 所以，即， 所以. 3．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的右焦点为，若点在椭圆上，满足，求直线的斜率． (3)过点的动直线与椭圆有两个交点，在y轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点纵坐标的取值范围为，满足题意. 【分析】（1）根据椭圆离心率并代入点坐标计算可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程并利用韦达定理以及向量共线解方程可得结果； （3）对直线的斜率进行分类讨论，联立直线和椭圆方程由韦达定理以及向量数量积的坐标表示，再根据恒成立解不等式可得结果. 【详解】（1）依题意可知，解得， 因此椭圆的方程为； （2）易知，设直线的方程为，； 联立，整理可得，显然； 因此， 由可得，即， 代入可得，即； 因此，即， 解得， 因此直线的方程为，即其斜率为. （3）如下图： 当过点的动直线斜率存在时， 设直线方程为，，； 联立，整理可得，显然； 因此， 所以 若存在点使得恒成立，可得， 解得， 当过点的动直线斜率不存在时，两个交点分别为椭圆的上下顶点， 显然此时方向相反，满足题意； 综上可得，点的纵坐标的取值范围为，使得恒成立. 4．已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解, （2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 5．如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.    (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围； (3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形重心坐标公式先求A坐标，再代入椭圆方程结合其性质计算即可； （2）设B、D、E坐标，并根据焦半径公式得，由等差中项的性质得出，再根据点差法得出中垂线的斜率，表示中垂线方程，结合点在椭圆内计算范围即可； （3）设M、N坐标，联立椭圆方程结合韦达定理得出其横坐标关系，再根据平面向量的坐标表示，利用函数的性质计算范围即可. 【详解】（1）不妨设， 因为的重心，所以， 所以， 又短轴长为6，所以，代入解得， 所以椭圆方程为:； （2）由上可知，设中点， 则， 又，消去并整理得， 同理， 又， 由题意得， 即， 因B，D在上，易得，化简得， 所以线段中垂线的斜率， 线段中垂线方程:， 令得， 又线段中点在椭圆内所以， 所以； （3）设，由得， 联立消整理得， 得， 所以， 当时，， 当时，， 解不等式得.    核心：将向量运算坐标化，转化为代数表达式后求值域，向量性质直接转约束条件。 1. 建模：向量条件坐标化——数量积常数，共线坐标成比例，垂直，将向量表达式化为含参数的代数式。 2. 找约束：由、曲线坐标范围、向量参数意义（如表示同向）定参数范围。 3. 求最值/范围：将向量表达式化为单参数函数，用二次函数值域、基本不等式、三角函数有界性求解；若为向量模长最值，先平方消根号再求值域。 关键：跳过向量几何推导，直接坐标化转化，避免复杂分析。 题型05 参数的取值范围问题 1．已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4. (1)求的方程； (2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【分析】（1）利用离心率及长轴长计算即可得； （2）（ⅰ）法一：设，，借助点差法计算即可得；法二：设：，联立椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出与后，由可得，即可得证；（ⅱ）设，，则有，两式相乘可得，则可得，设，可得在上单调递增，故可得，即可得解. 【详解】（1）由题得，，，得，，， 所以的方程为； （2）（ⅰ）（法1）设，，，， 因为，两式作差得：， 又因为，即，所以， 所以； （法2）由题可知直线斜率存在且不为0， 设：，，，，， 由，得，所以， 所以，， 因为，则，即有，所以； （ⅱ）设，，其中，，， 因为，所以， 两式相乘得：，又因为， 所以， 所以， 令（）， 所以， 令，又因为在区间上单调递增； 所以， 显然在上单调递增，因为，得， 所以，所以（当且仅当，时取等号）， 综上，的最大值为. 2．已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点． (1)P为椭圆C上一动点，求的最大值； (2)设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，可得，代入两点间距离公式结合二次函数的性质即可求解. （2）设直线，，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，，进而结合直线斜率公式，一元二次方程的根与系数关系、等差数列的性质进行求解即可. 【详解】（1）设为椭圆上一点， 则，且 ， 则 ， 所以当时，. （2）椭圆右焦点，设直线，，， 联立直线与椭圆方程，可得， 由韦达定理得，， 而直线的方程为，把代入方程中，得， 所以，于是，，， 因为，，成等差数列， 所以， 化简得， 把代入化简，得， 把代入， 得，因为，所以有，即. 3．已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）为定值，证明过程见解析；（ii） 【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程； （2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解； （ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围. 【详解】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入中，得， 所以双曲线方程为； （2）（i）显然直线不为0，故设直线为， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以， 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 故. 4．已知双曲线 . (1)若双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，求 的值； (2)在(1)的条件下，若过点 且斜率为 的直线与双曲线 有且只有一个公共点，求 的值； (3)若双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，过点 的直线 交双曲线 于不同的两点 、 ，连接 并延长交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】(1)根据双曲线的渐近线方程相同，结合 的值，即可得出 的值； (2)由题意可知直线的方程为 ，联立双曲线方程，可得 ， 分 两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于 的等式，即可求得 的值; (3)分析可知直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，联立双曲线方程，设点 、 ，则 ，列出韦达定理，根据 结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出 ，结合 以及 与 可求出 的取值范围. 【详解】（1）由题意可得双曲线 的渐近线方程为 ， 又双曲线 的渐近线方程为 ， 则 . （2）当 时，双曲线的方程为 ， 由题意可知，直线的方程为 ， 联立 ，得 ， 当 ，即 时，方程(*)即为 ，该方程只有一个解，合乎题意； 当 ，即时，则 ， 解得 . 综上所述， 或 . （3）由题知 、 ， 当直线 的斜率为 0 时，此时 ，不合题意， 则直线 的斜率不为 0， 设直线 的方程为 ， ， 根据 延长线交双曲线 于点 ，由双曲线对称性知 ， 联立有 ， 显然二次项系数 ，其中 ， 由韦达定理可得 ①， ②，     ，则 ， 因为 在直线 上，则 ， 即 ，即 ， 将①②代入有 ， 即 ，化简得 ， 所以 ，代入 ，得 ， 所以 ，且 ，解得 ， 由 ， 把 代入，解得 ，又 ，则 ， 综上， . 5．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)已知，，三点（点在点和点之间）在抛物线上． （ⅰ）若点，求周长的最小值； （ⅱ）过，，三点作抛物线的三条切线，分别两两相交于点，，，如图所示，直线，分别交轴于点，，是否存在常数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）13；（ⅱ）存在，，证明见解析 【分析】（1）利用焦点到准线距离即参数直接得方程； （2）（ⅰ）将三角形周长转化为与到准线距离之和，利用三点共线求最小值；（ⅱ）通过求导得切线方程，联立求交点坐标，并利用其纵坐标与已知点纵坐标的绝对值相等的关系，直接验证了常数的存在性 【详解】（1）由题意知，所以抛物线的方程为． （2）（ⅰ）由（1）知，准线方程为， 过作与准线垂直，垂足为，由抛物线的定义知， 因为周长为， 所以（当且仅当，，共线时取“＝”）． 又点到准线的距离为8，且，所以周长的最小值为． （ⅱ）因为，所以．设点，，， 则抛物线在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为，即， 所以由，得，所以点的坐标为， 由，得，所以点的坐标为， 由，得，所以点的坐标为， 则，所以直线的方程为． 令，解得的纵坐标，所以，， 则，所以直线的方程为． 令，解得的纵坐标，所以，， 因为， 故存在使得． 核心：根据题设几何条件（相交、相切、定点约束）列不等式/等式，解不等式得参数范围，判别式与曲线范围为核心约束。 1. 找约束条件： - 直线与曲线相交：（联立后一元二次方程系数不为0+判别式非负）； - 点在曲线内/外：如椭圆内点，抛物线内点； - 几何特征约束：如弦长≥定值、面积≤定值、斜率存在/不存在； 2. 列不等式：将几何条件转化为含参数的不等式（如由得），多个约束取交集。 3. 解范围：解一元二次/分式/绝对值不等式，结合参数几何意义（如斜率、截距、比值的实际范围）取舍，最终得参数取值范围。 1．设椭圆的左顶点为A． (1)求的离心率； (2)设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标； (3)设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由椭圆方程可得，，所以. （2）由条件可知， 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，因为，所以， 所以直线的方程为， 联立椭圆：， 所以或， 又因为点P位于y轴右侧，所以P的横坐标为. （3）设 ，，联立椭圆 ， 先确定有两个交点，即， 即， 所以. 因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角， 而点在以为直径的圆外，所以，等价于， 由，， 所以， 即. 将，代入可得， ， ， 解得 或，结合， 所以. 2．已知椭圆的中心为O，离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线，与y轴交于点P，过点P的直线l与C分别交于点A，B，椭圆的下焦点为F，直线，分别交直线于点M，N，记直线l，，的斜率分别为k，，． ①若，探究是否为定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； ②若，使得O，F，M，N四点共圆，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)①是定值，定值为② 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、之间的关系进行求解即可； （2）①设出直线l的方程与椭圆的方程联立，结合一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、直线的斜率公式进行求解即可； ②根据四点共圆的性质，结合锐角三角函数定义、导数的性质、椭圆的对称性进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的中心为O，离心率为，且过点， 所以； （2）①是定值，定值为，理由如下： 当时，点P坐标为，下焦点的坐标为， 直线l的方程为，与椭圆的方程联立，得 ， ，或， 设，， ， ， 所以； ②假设，使得O，F，M，N四点共圆成立， 此时直线l的方程为，与椭圆的方程联立，得 ， ， 设，， 因为直线与直线垂直，因此M，N必在纵轴同侧. 因为该椭圆关于纵轴对称，因此先考虑M，N在纵轴左侧情形，此时， 直线的方程为，令，得， 同理可得，显然有， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 因为O，F，M，N四点共圆， 所以，于是有， ， ， ， 设，， 所以，显然函数在上单调递增， 于是当时，，所以， 所以函数在上单调递增， 于是当时，， 即， 因为，所以， 当M，N在纵轴右侧情形，此时， 同理可得， 综上所述：k的取值范围为. 3．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且． (1)求C的方程； (2)已知M，N是直线上的两点，且满足，记直线，的斜率分别为，． （i）求的值； （ii）若直线与C交于另外一点P，直线与C交于另外一点Q，求点B到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意列方程，求解，即可得到椭圆方程； （2）（i）利用斜率公式及两直线垂直的条件化简即可求解； （ii）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，结合，进而得出直线过定点，当直线的斜率不存在时，求出直线，与椭圆的方程联立，得出坐标，得出直线过定点即可求解. 【详解】（1）由题意知 解得，，， 所以C的方程是． （2）（i）由题意知，设，，因为， 所以，即， 所以． （ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由得， 所以，，， 所以，整理得， 所以，整理得， 所以或． 当时，直线的方程为，过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，过定点． 当直线斜率不存在时，，，，直线的方程是与椭圆方程联立得， 同理得，此时直线的方程是，过定点． 综上，直线过定点，该定点坐标是， 当时，点B到直线的距离取得最大值，最大值为. 4．已知双曲线，过点的直线与双曲线交于、两点. (1)若，且直线垂直于轴，求； (2)若，设在第一象限，双曲线的左顶点为，若为等腰三角形，求点的横坐标； (3)若分别为双曲线的左右焦点，点是点关于轴对称的点，若存在直线使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)4或； (3) 【分析】（1）求出坐标即可； （2）设，分、、三种情况讨论，利用两点间距离公式求解； （3）分斜率是否为0讨论，若直线斜率不为0，设直线，与双曲线方程联立，根据韦达定理化简，得出的关系式，再结合且求出范围即可. 【详解】（1）令，则，得，故； （2）设满足，， ①当时，， 解得（舍去）或， ②当时，， 得（舍去）或， ③若，则，不符合题意； 综上所述，点的横坐标为4或； （3）①当直线斜率为0时，，则为双曲线的两个顶点，且重合， 则，舍去； ②若直线斜率不为0，设， 设直线， 联立，得， 则且，得且， 由韦达定理得， 因为，所以 因为， 所以， 则， 则， 即， 则， 即， 得， 即，得， 由，，，得， 若，对称轴为，则； 若，对称轴为，则， 因为，所以实数的取值范围为. 5．设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得的关系式，进而可求得椭圆C的标准方程； （2）设直线l的方程为，点，，联立方程组，利用根与系数的关系求得点Q的坐标，进而求得直线的方程，进而求得点的坐标，可求得的取值范围． 【详解】（1）由题意可得，， 将代入中，可得, 依题意，点在第一象限，故得， 由，，得， 解得，，所以， 所以椭圆标准方程为． （2）设直线l的方程为，点，． 联立，得， 由解得 且，， 所以，从而， 解得，， 所以， 令，则， 综上，的取值范围为． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点为椭圆C上的动点，椭圆C的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)，为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点． （i）求点的轨迹方程； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解； （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并利用坐标表示直线的方程，并且联立方程求点的轨迹方程；（ii）利用两直线的倾斜角表示，利用斜率表示，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由椭圆的性质，可知的面积的最大值为， 又，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得， ， 设、，则，， 因为的方程为，的方程为， 两直线方程联立得：， 因为， 所以，解得. 所以动点的轨迹方程为. （ii）由椭圆的对称性不妨设，直线、的倾斜角为，， 由图可知，且，因为，则， 因为，， 所以， 当且仅当时等号成立， 此时，，所以的最大值为. 7．已知椭圆，点为上关于原点对称的两点，点为上异于的一点，点满足，其中为实数． (1)求椭圆的离心率； (2)若点的坐标为，，且直线经过点，求点的坐标； (3)若存在点，使得直线与直线垂直，且直线与有两个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由方程得到，再算出即可得到离心率； （2）根据通过向量计算求出点坐标，再根据和两点写出直线的方程，与椭圆方程联立即可得点坐标； （3）同（2）中方法得到点坐标，再利用垂直关系得到直线的方程，与椭圆方程联立得到二次方程，使其判别式大于零，再通过变量代换解该不等式得到的范围. 【详解】（1）由椭圆的方程可得，则，∴. （2）因为点为椭圆上关于原点对称的两点，点的坐标为，所以点的坐标为， 设点，已知且，即， ∴，解得，所以点的坐标为， 已知直线经过点和点，由斜率公式可得直线的斜率， 于是可写出直线的点斜式方程，即， 联立，解得或，和横坐标不相等， 当时，，当时，，所以点的坐标为或. （3）设，则，且满足，同（2）中推导可得，其中， 因为直线与垂直，若，则，可得， 结合点坐标可写出直线方程为即，与椭圆方程联立， 得，整理得， 依题意有，化简得， 当时，，此时直线为，与椭圆联立得即，同样满足上式， 由椭圆方程知，令，因为，所以， 代入不等式右侧构造函数， 再令，则，利用二次函数性质可得最大值为，即， 解得. 8．已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，点在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （i）求点的轨迹方程； （ii）设，，点不在x轴上，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先由点到直线距离公式得右焦点到渐近线距离为，再把点代入双曲线方程，再结合相关条件求出，求出双曲线方程. （2）（i）先根据渐近线设出，坐标，由中点坐标公式得到，坐标与中点坐标关系，根据弦长公式列出关于，坐标的等式，代入化简，得出点轨迹方程. （ii）先利用正切函数定义及二倍角公式建立等式，得出关于的方程，求解得到表达式，根据的范围确定的取值范围. 【详解】（1）设双曲线的右焦点， 其中一条渐近线为：，即， 又因为右焦点到渐近线的距离为：， 由题意可知：，所以，， 将点代入双曲线方程：， 因此双曲线的方程为： . （2）（i）由（1）可知：，， 所以双曲线的渐近线为和， 设，，中点， 则：， 又因为，所以，即， 将中点代入化简得， 即：点的轨迹方程为：. （ii）设，则，在中， 由正切函数定义可得：， 由二倍角公式得：， 又因为满足，化简可得：， 即 在中，由大角对大边得，所以， 又因为，故，得， 因此：，故的取值范围为：. 9．椭圆的焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，当时有． (1)求的值及椭圆的标准方程； (2)已知线段的中点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，为坐标原点，记的面积为的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆定义及余弦定理列式求解. （2）（ⅰ）按是否垂直于轴分类，设出直线方程并与椭圆方程联立求出点坐标，消去参数即得轨迹方程；（ⅱ）由（ⅰ）求出线段中垂线方程并求出点坐标，进而求出，再求出目标式的函数关系，进而求出函数的值域即可. 【详解】（1）由，，得， 由椭圆定义得，在中，， 由余弦定理得， 即，解得，则， 所以，椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）设线段的中点，当直线不垂直于轴时，设其方程为， 由，得，则，， 则，，整理得， 当直线轴时，满足方程， 所以点的轨迹方程为. （ⅱ）依题意，直线不垂直于坐标轴，由（ⅰ）知点， 直线的方程为，即， 则，， ，， ，因此 ，令，函数在上单调递增，值域为， 则，所以的取值范围是. 10．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上，直线交直线于点，直线交直线于点. ①求的取值范围； ②当取最小值时，记以为直径的圆为圆，过点的直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据长轴长及离心率求出、，进而求出值，即可得到椭圆方程. （2）①分别求出直线、的方程及点、坐标，根据两点间距离公式求出，结合的范围即可求出的最小值. ②由①可知圆的方程及相应点的坐标，设出直线方程，分别与圆、椭圆方程联立，求出及，进而求出范围. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①，直线的方程为. 令，得，即. 同理，直线的方程为，. 所以. 因为点在椭圆上，所以，即， 则. 因为，所以，， 当且仅当时，等号成立. 故的取值范围为. ②由①得，当取最小值时，，，， 圆的圆心，所以圆的方程为. 当直线的斜率不存在时，，. 因为，所以，解得. 当直线的斜率存在时，设直线，，. 由得，， ， . 由得，. 由，得，，则，. 令，则，令，则， 则. 因为，所以，， 则， 因为，所以，所以. 综上，的取值范围为. 11．已知椭圆：的左、右顶点分别为､，直线：交椭圆于､两点，其中在轴上方． (1)当时，若，求的值； (2)过点､分别作直线：的垂线，垂足分别为､，设直线、直线的斜率分别为､： （i）证明：； （ii）若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或． (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先设直线，再联立得出韦达定理，再应用数量积坐标公式代入计算求解； （2）（i）设，再分和两种情况计算证明；（ii）先根据已知化简得，再结合（i）计算求解. 【详解】（1）设， 联立直线方程与椭圆方程， 得到方程， 由韦达定理得，， 代入得 ， 故，即或． （2），且，    （i）．设 若，则 故，故． 若， 故， ， ， ， 故，故． （ii）．由于，从而． 由（i）有， 故． 所以，即， 即， 解得， 结合即得． 12．已知椭圆，双曲线的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭圆焦点，O为坐标原点，过点作斜率为k的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B两点. (1)求双曲线的方程； (2)过点A，B两点分别作双曲线的切线，设交于点Q，直线OQ与直线l交于点R，求线段OR长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得双曲线的焦点为，顶点为，进而求解即可； （2）设切点为，可证明切线方程为，设，，可得的方程为，的方程为，进而得到，再分、两种情况求出坐标，再表示出即可求解. 【详解】（1）由椭圆，得， 由题意，双曲线的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭圆焦点， 则双曲线的焦点为，顶点为，即， 则，即双曲线的方程为. （2）设切点为，则，先证明切线方程为. 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为， 联立，得， 则，则， 则切线方程为，即； 当切线斜率不存在时，切点为或，则切线方程为或， 显然满足. 综上所述，切点为时，切线方程为. 设，， 则的方程为，的方程为， 则，， 所以直线的方程为， 又直线过点，则，即， 则，即， 当时，，直线OQ的方程为，而直线l的方程为， 则，即； 当时，直线OQ的方程为，而直线l的方程为， 联立，得， 因为直线l与双曲线左､右两支分别交于A，B两点， 所以，解得，则或， 联立，解得，则， 则， 令，则， 所以，令，则， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 综上所述，线段OR长度的取值范围为. 13．已知椭圆的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若不过，且直线,的斜率成等差数列，求的取值范围； (3)若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆左焦点为得，即；又椭圆过点，代入椭圆方程，联立解出和即可； （2）设：，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和；由题意得，代入化简得到与的关系；再根据直线与椭圆有两个交点，利用判别式，求出的取值范围。 （3）设： ，先求的长度；设，得到的方程，再求出到直线的距离，最后利用基本不等式求出面积的最大值 【详解】（1）由题意得，所以 又椭圆经过点，代入椭圆方程得，化简得即，整理得，解得（舍去负根）所以 所以椭圆的标准方程为 （2）设，因为不过，所以 设 ，化简得 因为直线，的斜率成等差数列，所以即 又,，所以， 整理得     将代入化简得 整理得 即 解得（舍去） 所以，代入得，整理得解得或， 故的取值范围为 （3）设 解得， 故 所以 设，则，其斜率为 又，所以 因为在椭圆上，所以解得 不妨令则， 所以点到直线 的距离 所以面积 化简得     令， 则 ，当且仅当时取等号， 所以 即面积的最大值为 14．已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点. （i）当最大时，求点的坐标； （ii）若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）（i）设点，直线的倾斜角分别为，分三种情况，当时，，当时，可得，即可求解； （ii）法一，求出直线的方程，进而得直线过定点，从而可得，即可求解；法二，设直线为，同法一得出直线过定点，再结合条件得，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，即， 又，得，又，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由（1）知，设点，直线的倾斜角分别为， 得， 当时，，此时， 当时，， 则， 当且仅当时，等号成立， 当时，， 则有， 当且仅当时，等号成立， 综上所述，当且仅当时，有最大值，即有最大值， 所以当点的坐标是或有最大值. （ii）法一：设点，当时，两个三角形不存在，所以， 直线的方程分别为， 联立方程得，消去得， 解得或，即点， 联立方程得，消去得， 解得或，即点，则， 直线的方程为， 化简得，所以直线过定点， 又， ，若，得， 化简得， 由，则，则. 法二：当直线与轴重合时，显然不满足题意. 设直线为，点是直线与轴的交点， 联立方程组，消去得， 所以有， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程得，解得， 又， 所以点的横坐标为， 代入得 ，解得，即点， 由于， 若，即，由图可知异号，即， 所以有， 化简得. 该方程有解，即，则. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $