北京市石景山区2020届高三4月统一测试数学试题

高三数学答案第 1页（共 8页） 2020 年石景山区高三统一测试 数学试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A A B D C C B 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分． 11． 6  ； 12．15； 13． 2 1，- ；答案不唯一 14．3； 15. 小学中级 ． 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 85 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 16．（本小题 14分） （Ⅰ）证明：联结 PO． 在正四棱锥 P ABCD 中， PO 底面 ABCD． 因为 BO平面 ABCD， 所以 PO  BO． …………3 分 在正方形 ABCD中，BO AC ， 又因为 PO AC O ， 所以 BO 面 PAC． …………6 分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， PO， AO， BO两两垂直， 以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . …………7 分 在正方形 ABCD中，因为 2 2AB  ， 所以 2AO  ． 又因为 2 2PB  ， 所以 2PO  ． 高三数学答案第 2页（共 8页） 所以点 P的坐标为 (0, 0, 2)P ，点C的坐标为 ( 2, 0, 0)C  ， 点 B的坐标为 (0, 2, 0)B ． …………8 分 则 ( 2, 0, 2)PC     ， ( 2, 2, 0)CB   ． …………9 分 由（Ⅰ）知， BO 平面 PAC． 所以平面 PAC的一个法向量为 1 (0, 2, 0)n OB    ． …………10 分 设平面 PBC的一个法向量 2 ( , , )n x y z  ． 则 2 2 0, 0, n PC n CB           即 2 2 0, 2 2 0. x z x y       令 1y  ，则 1x   ， 1z  ． 故平面 PBC的一个法向量 2 ( 1,1,1)n    ． …………13 分 1 2 1 2 1 2 3cos , 3| || | n nn n n n         所以二面角 A PC B  的余弦值为 3 3 ． …………14 分 17.（本小题 14分） 解：(Ⅰ)由数据知，60 人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有 8+20=28 人 …1 分 所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 392 60 28840  人 ………4分 (Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有 8 人。 ……5 分 设“恰好有一人选物理、化学、生物”为事件 A ……6 分 15 8)( 2 16 1 8 1 8  C CC Ap ……8分 高三数学答案第 3页（共 8页） （Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有 8 人选择物理、化学和生物；有 4 人选择 物理、化学和历史；有 2 人选择物理、化学和地理；有 2 人选择物理、化学和政 治. ……9 分  的可能取值为 10，. 10 7)0( 2 16 1 2 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8    C CCCCCC P  10 3)1( 2 16 2 2 2 2 2 4 2 8    C CCCC P  ……12 分 所以 的分布列为：  0 1 P 10 7 10 3 10 3 10 31 10 70 E ……14 分 18.（本小题 14分） 解：（Ⅰ） ABC△ 同时满足①，②，③． ………… 3分 理由如下： 若 ABC△ 同时满足①，④，则在锐角 ABC△ 中， 1 1sin 3 2 C   ，所以 0< 6 C  又因为 3 A  ,所以 <A+ 3 2 C  所以 2 B  ,这与 ABC△ 是锐角三角形矛盾， 所以 ABC△ 不能同时满足①, ④， ………… 6分 高三数学答案第 4页（共 8页） 所以 ABC△ 同时满足②，③ . ………… 7 分 因为 c a 所以C A 若满足④ 则 6 A C   , 则 2 B  ,这与 ABC△ 是锐角三角形矛盾 故 ABC△ 不满足④. ………… 9 分 故 ABC△ 满足①，②，③． （Ⅱ）因为 2 2 2 2 cosa b c bc A   ， …………10 分 所以 2 2 2 113 15 2 15 2 b b      ． 解得 8b 