CRUX杂志问题4531-4540数学试题（pdf版，无答案）

CRUX 杂志问题 4531-4540 海亮高级中学 龙崎钢 译 来源: https://cms.math.ca/crux/v46/n4/CRUXv46n4.pdf 4531. (Leonard Giugiuc 与 Dan Stefan Marinescu 供题) 正实数 , ,a b c与实数 , ,x y z满足 2, 1a b c xa yb zc      . 求证： 3 ( ) 4 x y z xy yz zx      . 4532. (Marius St˘anean 供题) △ABC 内接于圆 Γ, 在边 BC, CA, AB 上分别取点 M, N, P. 设 M’, N’, P’分别为 AM, BN, CP 与 Γ 的另一个交点. 证明: 2 ' ' ' 4 R r MM NN PP   . 4533. (Leonard Giugiuc 与 Kadir Altintas 供题) 设 K 为△ABC 的陪位重心. 点 K 到 BC, AC, AB 的距离分别为 , ,a b ck k k . 若△ABC 的内切圆半径为 r, 半周长为 s, 证明: 2 2 2 2 2 1 3 2 ( ) ( ) a b cr s k k k     . 4534. (Michel Bataille 供题) 对正整数 n, 计算 https://cms.math.ca/crux/v46/n4/CRUXv46n4.pdf 4535. (Mihaela Berindeanu 供题) 锐角△ABC 垂心为 H, H 关于 BC 中点 D 的对称点为 E. 过 H 作 DE 垂线交 AB 于 X, 交 AC 于 Y. 证明: HX EC HE YC EX BE     4536. (Leonard Giugiuc 与 Rovsan Pirkuliev 供题) △ABC 中 , ∠ABC＝60° .若 AC 上存在一点 M, 满足  3 max ,BM AC AM MC  , 求△ABC 所有角的度数. 4537. (Arsalan Wares 供题) 设 A 为正六边形, 其顶点为 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A