2020伊朗组合高中奥林匹克数学试题（pdf版，无答案）

2020 伊朗组合奥林匹克 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源: www.artofproblemsolving.com/community/c1136520 1. 一个足球联盟中，有 2020 支参赛队伍进行了一次单循环 赛, 即任意两个队伍恰比赛一次. 胜者积 3 分,负者不得分, 打平则各得 1 分. 最终排名时, 首先比较总分, 总分相同则 比较净胜球(进球数减去失球数). 若这次比赛中没有出现平 局, 那么各队的净胜球数是否可能是按照排名严格递增的? 2. 神算子和智多星进行如下游戏: 首先他们各自独立地掷 骰子 100 次,并在纸上写下每次投掷的结果, 这些结果组成 了一个由数字 1-6 组成的 100 位数. 随后他们同时向对方喊 出一个 1-100 之间的整数, 然后圈出自己的 100 位数中,对 方所喊的整数所对应位置的数字. 若他们都圈到了 6, 那么 他们都获胜, 否则就都输掉了. 那么, 他们是否有策略,使得 他们获胜的概率不低于 1 36 ? 3. 给定 1399 个点以及一些弦. (i)在每一步中, 我们找到两根弦 RS, PQ, 使得他们有除了 R,S,P,Q 之外的公共点 , 去掉这两根弦之一 , 并画上 PS,PR,QS,QR. 设 s 为若干步之后弦的总数的最小值. 对所有初始情况, 求 s 的最大值. (ii) 在每一步中, 我们找到两根弦 RS, PQ, 使得他们有除了 R,S,P,Q 之外的公共点 , 将这两根弦全部去掉 , 并画上 PS,PR,QS,QR. 设 s 为若干步之后弦的总数的最小值. 对所有初始情况, 求 s 的最大值. http://www.artofproblemsolving.com/community/c1136520 4. 给定一个由 99 个顶点组成的图, 每个顶点的度属于集合 {81,82,...90} , 证明其中有 10 个顶点, 他们度数相同, 且与 同一个点相邻. 5. 阿波站在从地狱前往天堂的第二级台阶上. (第一级台阶 就是地狱本身), 在每一级台阶上, 都有一个魔鬼扮作人类, 精灵或者恶魔之一来诱惑阿波. 如果魔鬼的扮相是精灵或 者恶魔, 阿波不受其引诱, 会向上走一级台阶. 如果魔鬼扮 作人类, 则阿波会受其引诱, 并向下走一级台阶. 特别地,