第一章集合 讲解-高中数学必修1经纶学典【学霸题中题】(北师大版)

第一章集合 第一章集合 §1集合的含义与表示 要点1集合中元素的特征 素互异性的要求.反过来,等腰梯形的4条边中,至少有 知识点1 2条是相等的,它的边长可以构成集合,但相等的边长只 能计为一个元素基础题组T2中仅由英语字母“b”“e 1.确定性:给定集合中的元素必须是确定的,有明确 “e”组成的集合含有2个元素,也是这个道理 的标准判断给定元素是否在集合中 2互异性:给定集合中的元素互不相同集合中的元注意2集合由3个元素a,b,c组成,和由3个元素c b,a组成,结果是一样的,这两个集合的构成元素一样 素不能重复出现 这两个集合也就相等.无序性的主要作用就是为了方便 3.无序性:集合中元素的排列没有先后顺序,可以任 定义集合相等 意调换位置 例1以下对象的全体能否构成集合? 要点2元素与集合的关系 (1)所在班级中的高个子同学; (2)所在班级中身高最高的三位同学 知识点2 解」判断给定的对象能否构成集合,关键在于是否有明 a∈A与a∈A取决于a是不是集合A中的元素.根 确的标准,使得对于任何一个对象都能确定它是否满足据集合中元素的确定性可知,对于任何元素a与集合A, 这个标准 a∈A与a∈A必有一种且只有一种成立 (1)不能构成集合,“高个子”是一个含糊不清的概B已知集合A=(rx=3n+1,n∈2,B={xx 念,具有相对性,多高才算高,没有明确的标准因此“所3n+2,n∈Z),M={x1x=61m+3,n∈Z 在班级中的高个子同学”不能构成集合 (1)若m∈M,则是否存在a∈A,b∈B,使m=a+b (2)能构成集合所在班级中每个人的身高是确定成立? 的,“所在班级中身高最高的三位同学”有一个明确的标 (2)对于任意a∈A,b∈B,是否一定存在m∈M,使 准,可以确定出来因此“所在班级中身高最高的三位同a+b=m?证明你的结论 学”能构成集合,这三位同学就是集合的元素 解(1)设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z) 注意生活中的有些观念,比如1米8算高个子,1米 算矮个子,但这些观念含糊不清,不够明确,无法对 故若m∈M,则存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立 每一种身高归类,因此无法构成集合.但某个班级身高 (2)设a=3k+1,b=3+2,k,l∈Z,则a+b= 最高的,或者某个班级身高在1米7以上的,可以对每3(k+1)+3 一种身高是否符合这个标准进行判断,因此可以构成 当k+l=2p(p∈Z)时,a+b=6p+3∈M,此时存 集合 在m∈M,使a+b=m成立;当k+l=2p+1(p∈Z)时 例2已知集合S由一个多边形的边长构成,且集合Sa+b=6p+6∈M,此时不存在m∈M,使a+b=m 含有3个元素a,b,c,那么这个多边形可能是 A.等腰三角形 B.等边三角形 故对于任意a∈A,b∈B,不一定存在m∈M,使a+ C.平行四边形 D.等腰梯形 答案D 方法判断元素与集合关系的两种方法: 解析集合中的元素必须满足互异性,因此集合S中所 (1)直接法,适用于集合中的元素是直接给出的.判 的3个元素a,b,c必须互不相等.等腰三角形的边 断给定元素是否在集合中出现即可. 可能有1种或2种,不可能3边均不等,因此不可能是等 (2)推理法,适用于某些不便直接表示元素的集合 腰三角形;同理,等边三角形的边长只有1种,也不可能;判断给定元素是否满足集合中元素所具有的特征即可 平行四边形的边长可能有1种或2种,不可能有3种:等说明集合A={x1x=3n+1,n∈D)表示被3除余1的 腰梯形的边长可能有2种或3种,因此这个多边形可能所有整数,这是常用的表示特殊数集的方法,另外,A= 是等腰梯形 {x1x=3n+1,n∈Z}={x|x=3n-2,n∈Z},两种形式 意1例2中要求a,b,c互不相等,这是构成集合对元是等价的 第一章集合 N2集合的基本关系 要点1子集、真子集的个数 (2)根据{3,4}M,M中必须有3,4这两个元素,且 至少含有0,1,2中的一个.因此集合M的个数应该是{0, 知识点11 1,2}非空子集的个数,为23-1=7(个) 对于含有n个元素(n∈N)的有限集合的子集个数 如果用列举法,结合(1),排除{3,4},符合条件的M 有下述四个结论 有{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4};{0,1,3,4},{0,2,3,4} ①含n个元素的集合有2个子集; 1,2,3,4};{0,1,2,3,4}.共7个 ②含n个元素的集合有(2-1)个真子集; (3)根据{3,4}sM,M中必须有3,4这两个元素;又 ③含n个元素的集合有(2-1)个非空子集 M≌{0,1,2,3,4},因此M≠{0,1,2,3,4},因此符合条件 ④含n(n≥1)个元素的集合有(2-2)个非空真子集.的集合M的个数应