第一章章末整合提升-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

答案　①互异性　②列举法　③属于关系　④交集 题型一　集合的子、交、并、补运算 集合的子、交、并、补运算是高考考查的重点，而这些运算的考查往往与方程、不等式的解法密切联系在一起.随着后面知识的学习，此类题会经常出现，主要分两类：一是不含参数的，一般可以直接求解；二是含有参数的，常需要分类讨论或进行等价转化，利用集合的运算求参数的取值范围.正确把握集合的“元素构成”，理解有关概念是进行集合运算的关键. 　设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}， (1)求a的值及A，B； (2)设全集U＝A∪B，求(∁UA)∪(∁UB)； (3)写出(∁UA)∪(∁UB)的所有子集. 【解析】　(1)因为A∩B＝{2}， 所以2∈A，且2∈B. 所以2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的解. 所以8＋2a＋2＝0，且4＋6＋2a＝0，解得a＝－5. 所以A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}. (2)U＝A∪B＝∪{－5，2}＝. 因为∁UA＝{－5}，∁UB＝， 所以(∁UA)∪(∁UB)＝. (3)集合(∁UA)∪(∁UB)的所有子集为∅，{－5}，，. 题型二　数形结合思想在解集合问题中的应用 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合.通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体.通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题，集合中常用的方法是数轴法和Venn图法. (1)数轴法 对初学者来说，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算力差或考虑不全面而极易出错.此时，数轴分析法是个好帮手，它能将复杂问题直观化.在具体应用时，要注意端点是实心还是空心. (2)Venn图法 Venn图是集合语言中的图形语言，它易引起清晰的视觉形象，能直观地表达概念，问题的本质以及相互之间的关系.加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识，夯实基础，提高能力具有重要意义. 　已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x－m<2}， (1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围. 【解析】　由题意得A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<m＋2}. (1)在数轴上画出集合A和B，若A∩B＝∅，则实数m＋2落在－1的左边或与－1重合，所以m＋2≤－1，即m≤－3. (2)在数轴上画出集合A和B，若AB，则实数m＋2落在3的右边或与3重合，所以m＋2≥3，即m≥1. 题型三　分类讨论思想在解决集合问题中的应用 分类讨论思想是数学思想中比较重要的一种思想，利用讨论思想解决分类讨论问题，已成为高考考查学生知识和能力的热点问题.首先，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对知识面的考查；其次，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想和技巧.运用分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到“不重不漏”.解分类讨论问题的实质是把整体问题化为部分来解决.在分析集合所含元素的情况时，常会涉及分类讨论思想.与集合有关的分类讨论问题有以下三类：(1)与元素有关的分类讨论问题，由集合所含元素的情况讨论，利用元素特性检验等；(2)与子集有关的分类讨论问题，对集合的子集个数进行分类讨论，尤其注意∅⊆A；(3)与空集特性有关的分类讨论问题，常对未知集合分空集与非空集合讨论. 　已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝， (1)若A⊆B，求实数a的取值范围. (2)A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由. 【解析】　(1)由0<ax＋1≤5，得－1<ax≤4. 当a＝0时，A＝R，不满足A⊆B； 当a>0时，A＝. 若A⊆B，则解得a≥2. 当a<0时，A＝， 若A⊆B，则解得a<－8. 综上，若A⊆B，则a<－8或a≥2. (2)若A＝B，由(1)知a≠0.当a>0时，由解得a＝2，即a＝2时满足A＝B. 当a<0时，A＝与B＝显然不可能相等.综上，若A＝B，则a的值为2. 题型四　补集思想的应用 对于比较复杂，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这样往往能化难为易，从而将问题解决，这就是补集思想.补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现.集合中的补集运算常常与方程、不等式等相联系，特别是否定性的条件，如a∉A，可转化为a∈∁RA，有时求解将会十分方便，省去一些复杂的讨论.“正难则反”策略运用的补集思想，它是处理问题间接化原则的体现，也是性质∁U(∁UA)＝A的应用. 　已知集合A＝{x|x2－4x＋6－2a＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值