专题12 等比数列-2020年高一数学春季课程教案（人教版）

专题12 等比数列 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 等比数列 等比数列的性质 教学目标 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 教学重点 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 教学难点 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题 教学过程 一、课堂导入 [考情展望]　 1.运用基本量法求解等比数列问题. 2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定. 3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用． 二、复习预习 [自主梳理] 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________. 3．等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则__________________________． (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (4)单调性：或⇔{an}是________数列；或⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝＝＝－. 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______． 三、知识讲解 考点1等比数列 [方法技巧] 证明{an}是等比数列的两种常用方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． 考点2等比数列的性质 1．对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a. 2．通项公式的推广：an＝amqn－m(m，n∈N*) 3．公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列． 4．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍是等比数列． [拓展延伸] 等比数列的单调性 单调递增 a1＞0，q＞1或者a1＜0,0＜q＜1 单调递减 a1＞0,0＜q＜1或者a1＜0，q＞1 常数数列 a1≠0，q＝1 摆动数列 q＜0 四、例题精析 考点一等比数列的基本运算 例1(1)(2017·全国甲)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下命题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A 1盏 B 3盏 C 9盏 D 9盏. (2)(2017·全国丙)设等比数列满足，则________________ 考点二等比数列的判定与证明 例2已知数列的前n项和，其中． （Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若 ，求． 考点三 等比数列的性质及应用 例3设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 例4等比数列中，，则数列的前8项和等于 A．6 B．5 C．4 D．3 五、思想与方法渗透 思想方法之一分类讨论思想在等比数列求和中的应用 分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解