专题16 基本不等式-2020年高一数学春季课程教案（人教版）

专题16 基本不等式 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 基本不等式≤ 利用基本不等式求最大、最小值问题 教学目标 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 教学重点 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 教学难点 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 教学过程 一、课堂导入 [考情展望]　 1.利用基本不等式≤求最值、证明不等式. 2.利用基本不等式解决实际问题． 二、复习预习 [自主梳理] 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：____________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)． (2)＋≥____(a，b同号)． (3)ab≤ (a，b∈R)． (4)____. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为______________________. 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)． 三、知识讲解 考点1基本不等式≤ 1．基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. 2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立． 3．其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． [拓展延伸] 由公式a2＋b2≥2ab和≤可以引申出的常用结论 (1)＋≥2(a，b同号)； (2)＋≤－2(a，b异号)； (3)≤≤≤ (a＞0，b＞0)(或ab≤≤(a＞0，b＞0)． 考点2利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)． 那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”) 2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)． 那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”) 四、例题精析 考点一 利用基本不等式求最值 例1(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值； (2)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值； (3) 若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值; (4) 若x，y∈(0，＋∞),求的最小值. 例2(1)(2014·青岛模拟)下列命题中正确的是(　　) A．y＝x＋的最小值是2 B．y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4 C．y＝sin2x＋的最小值是4 D．y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4 (2)(2014·贵阳模拟)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A.　　　B.　　　C．5　　　D．6 考点二 简单的不等式证明 例3(2013·课标全国卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ca≤； (2)＋＋≥1. 例4已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9. 考点三 基本不等式的实际应用 例5(2014·潍坊模拟)如图6－4－1，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道。已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值． 图6－4－1 五、思想与方法渗透 思想方法之一消元思想在基本不等式求最值中的巧用 所谓消元思想就是将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想方法．由于应用基本不等式“≤”求最值时需满足三个条件(一正、二定、三相等)，且只限于“二元”范畴之内，故对于多元求最值问题可采用消元思想，转化为“二元”问题． 例题(2013·山东高考)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．0　　　　B．1　　　　C.　　　　D．3 思想方法之二构造齐次法 例.已知，且，求的最小值______. 思想方法之三分母整体换元 例.已知为正数，则的最大值为 . 思想方法之四待定系数法 例.（2010年江苏12）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 . 思想方法之五因式分解 例.已知实数x，s，t满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值为________． 思想方法之六对称变量（体现数学的美感） 例.已知正实数，求最大值为_______. 课程小