第一、二章 空间几何体及点、线、面的位置关系（单元小结）-2019-2020学年高一数学下册同步精品课堂（人教A版必修2）

第一、二章 空间几何体及点、线、面的位置关系 （单元小结） [核心速填] 1．柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式 面积 体积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝πr2hSh＝ ＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝)h(S上＋S下＋ ＝＋r1r2)h＋rπ(r 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝)h(S上＋S下＋ 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 2．空间中线线关系 空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况． 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况． (1)证明线线平行的方法 ①线线平行的定义； ②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； ④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)； ②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 3．空间中线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种． (1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β. (2)证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②判定定理1：⇒l⊥α； ③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 4．空间中面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种． (1)证明面面平行的方法 ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理： a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β； ③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β； ④公理4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β. (2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β. [体系构建] [题型探究] 类型一：空间几何体的表面积与体积 例1、(1)已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积． 图1­1 (2)如图1­2，已知四棱锥P­ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P­ABCD的体积． 图1­2 [跟踪训练] 1．64个半径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则(　　) A．V甲>V乙且S甲>S乙 B．V甲<V乙且S甲<S乙 C．V甲＝V乙且S甲>S乙 D．V甲＝V乙且S甲＝S乙 2．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________． 类型二：与球有关的切接问题 例2、(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为(　　) A．4∶3 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4 (2)已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a，求它的外接球的体积． [跟踪训练] 3．(1)如图7，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为 (　　) 图7 A．2　　　　B．1 C． D． (2)设A，B，C，D是球面上的四点，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝3，AC＝4，AD＝，则球的表面积为(　　) A．36π　 B．64π C．100π　　 D．144π 类型三：空间点、线、面位置关系的判断与证明 例3、如图8，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. 图8 (1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE. [跟踪训练] 4．如图9所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC. 图9 (1)求证：平面MOE∥平面PAC； (2)求证：平面PAC⊥平面PCB. 类型四