湖北省武汉市武昌区2020届高三四月调研测试数学（理）试题

高三理科数学 第 1页（共 4页） E F 武昌区 2020届高三年级四月调研测试 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A B B B A D A D 二、填空题： 13． 2 132020 2020  S 14．①② 15． 5 5 16． ) 4 15 , 2 7 () 4 11 , 4 7 () 2 3 , 4 3 (  三、解答题： 17．（本题 12分） 解：（1）由正弦定理，得， ba ca c ba     ，化简得 acbca  222 . 由余弦定理，得 2 1 cos 2 222   B ac bca ，所以 3 π B . ……………….(6分) （2）设 AC的中点为 D，由余弦定理，得 CDBD BCCDBD ADBD ABADBD      22 222222 ， 即 342 34 342 34 222222      ac ，所以 5022  ca . 又， acbca  222 ， 6b ，所以 14ac . 所以， 2 37 sin 2 1  BacS . ……………….(12分) 18．（本题 12分） 解：（1）因为 BCAD // ， 1 2 2 AB AD DC BC    ，所以 90BAC ，即 ACAB  . 因为 ACPB  ，所以 AC 平面 PAB . 因为 AC 平面 ABCD，所以，平面 PAB 平面 ABCD . ……………….(4分) （2）因为 4PA ， 32PB ， 2AB ，所以 BAPB  . 由（1）知， PB 平面 ABCD，所以 BCPB  ，平面 PBC 平面 ABCD . 过点D作 BCDE  于 E，则 DE 平面 PBC . 过 E作 PCEF  交 BC于 F ，则角 DFE 为所求二面角的平面角. 在梯形 ABCD中，求得 3DE .在 PBCRt 中，求得 7 3 EF . 在 DEFRt 中，求得， 7 62 DE ， 3DF . 高三理科数学 第 2页（共 4页） 在 DEF 中，求得 4 2 cos DEF ，为所求. ……………….(12分) 另解：（向量法）建系设（求）点正确 2分；求两个法向量正确 4分；求余弦正确 2分. 19．（本题 12分） 解：（1）由题意，得         , 2 2 ,1 14 22 a c ba 考虑到 222 cba  ，得 62 a ， 32 b . 所以，椭圆 C的方程为 1 36 22  yx . ……………….(4分) （2）当直线 AB的斜率存在时，设其方程为 mkxy  ，代入椭圆方程，整理得 0624)21( 222  mkmxxk ，由 0 ，得 036 22 mk . 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，则 221 21 4 k km xx    ， 2 2 21 21 62 k m xx    . 因为 PBPA ，所以 1 PBPA kk ，所以 1 2 1 2 1 2 2 1 1       x y x y ， 即 4(21)( 21212121  xxxxyyyy . 其中 22121 2 2121 )())(( mxxmkxxkmkxmkxyy  ， mxxkyy 2)( 2121  . 代入，整理得 012384 22  mmmkk ，即 0)132)(12(  mkmk . 当 012 mk 时，直线 AB过点 P，不合题意，所以 0132  mk . 此时，直线 AB的方程为 3 1 ) 3 2 (  xky ，直线过定点 ) 3 1 , 3 2 ( M . 所以，当 ABPM  时，点 P到直线 AB的最大距离为 3 24 ||  PMd . 当直线 AB的斜率不存在时，设其方程为 nx  ，代入解得 3 2 n 或 2n （舍去）. 当 3 2 n 时，点 P到直线 3 2 x 的距离为 3 4 . 综上，点 P到直线 AB的最大距离为 3 24 ||  PMd . ……………….(12分) 另：当 01