高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（3）

2020年高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（3） 注童事项：1.本试卷共2页，共17题。 2.满分100分，考试时间90分钟，请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 1、函数 中，自变量 的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 2、已知 （ ） A．10 B．8 C．20 D．4 3、已知 （ 为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ） （A） （B） （C） （D）不能确定 4、函数y＝ 图象的大致形状是 （　　） A B C D 5、某个一次函数的图象与直线 平行，与 轴， 轴的交点分别为A，B，并且过点（ ， ），则在线段 上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）． （A）3个 　 （B）4个 （C）5个 （D）6个 6、直角三角形的周长为 ，斜边上的中线长为1，则这个三角形的面积是（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 7、如果方程 有实数根且它的两根之差是1，那么 的值为 . 8、函数 的最小值是____________． 9、已知 ，则 的值为____________.． 10、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为 ，则二次函数 的图象与x轴有两个不同交点的概率是_________． 11、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为　 　．[来源:学,科,网] 12、点 的坐标分别为 ,若二次函数的图象与线段 恰有一个交点，则的取值范围是 ． 三、解答题（共36分，共3题，每题12分） 13、已知 是关于 的方程 的两个实数根（其中 是实数），求 的最大值. 14.如图,A、B、C、D四点在同一个圆周上，且BC=DC=4，AE=6，线段BE与DE的长都是整数。 （1）求CE的长. （2）求BD的长. 15、如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2,0)． （1）若二次函数 的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式； （2）在(1)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 四、问题解决（共16分，共2题，16题12分，17题5分） 16、已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点． （1） 判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由； （2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：． 17、（1）一条走廊宽 2 m, 长 2 m，用 4 种颜色的 1 1 m 的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 求所有的不同拼色方法数（直接写出结果即可）. （2）如果走廊宽 2 m, 长 6 m，按照上题相同要求铺设，求所有的不同拼色方法数（直接写出结果即可）. 数学试题参考答案 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 1、C 2、A 3、C 4、D 5、B． 6、D 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 7、 （答对一个结果得2分） 8、－1 9、36 10、 11、15 12、≤，或者（答对一个结果得2分） 三、解答题（共36分，共3题，每题12分） 13、解：因为方程 的两个实数根， 则 ，解得 -----4分 由韦达定理，得 ， ------8分 则 ------10分 在 递减， 当 时，最大值为18 ------12分 注没有考虑取值范围扣4分即可. 14、解：（1）由BC=DC知， ， 又 ， 即 .------6分 （2）又 ， ∽ ,所以 ， 又BE、ED为正整数，只有三组数值（1，12），（2，6），（3，4）. ------10分 在 中， .------12分 15、解：(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB= . 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则 OD= ，BD= ，∴ 点B的坐标为( ) . 将A(2,