高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（4）

2020年高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（4） 注童事项：1.本试卷共2页，共17题。 2.满分100分，考试时间90分钟，请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 1、若 ，化简 的结果是（ ） （A） （B） （C） （D） 2、横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数 的图象上整点的个数是（ ）. A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 3、已知 （ ） A．10 B．8 C．20 D．4 4.已知三个关于 的一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 恰有一个公共实数根，则 的值为( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5、Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ） （A）h<1 （B）h=1 （C）1<h<2 （D）h>2 6、凸五边形 中， ，则它的面积是（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 7、已知 为方程 的两实根，则 。 8、若关于 的一元二次方程 有且仅有一根在 与 之间（不含 和 ），则 的取值范围是 . 9．已知 是两个锐角，且满足 ， ，则实数 所有可能值的和为 . 10、如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 . 11、方程 （ 为实数）有两个实根 ，且 ，则 的取值范围为 . 12．若自然数 使得三个数的加法运算“ ”产生进位现象，则称 为“连加进位数”，例如， 不是“连加进位数”，因为 不产生进位现象； 是“连加进位数”，因为 产生进位现象； 是“连加进位数”，因为 产生进位现象； 是“连加进位数”，因为 产生进位现象.如果从 这 个自然数中任取一个数，那那么取到“连加进位数”的概率是 . 三、解答题（共36分，共3题，每题12分） 13、对于实数 ，只有一个实数值 满足等 ，试求所有这样的实数 的和. 14、如图所示等腰梯形 中， ∥ ， ,对角线 与 交于 , , 点 分别是 的中点。 求证：△ 是等边三角形。 15、如图，已知直线y＝－m(x－4)（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连结CN、CM． （1）证明：∠MCN＝90°； （2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式； （3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积． 四、问题解决（共16分，共2题，16题12分，17题5分） 16.已知抛物线 与动直线 有公共点 ， ，且 . （1）求实数t的取值范围； （2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值. 17、若干台计算机联网,要求： （1）任意两台之间最多用一条电缆连接； （2）任意三台之间最多用两条电缆连接； （3）两台计算机之间如果没有连接电缆，则必须有另一台和他们都有连接。 若按此要求至少有79条，求： （1）参加联网的计算机有多少台？ （2）这些计算机联网按要求联网，最多可以连多少条电缆？ 数学试题参考答案 注童事项：1.本试卷共2页，共17题。 2.满分100分，考试时间90分钟，请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 1、A 2、B 分离整系数法 3、A 4. D 5、B． 6、B 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 7、7 8、 且 9． 1 10、84 11、 或 12． 0.88 三、解答题（共36分，共3题，每题12分） 13、解：题中等式可化为 　　① （1）当方程①有两个相等的实数根时， ，由此得 ，此时方程①有一个根 ，验证可知 的确满足题中的等式 （2）当方程①有两个不相等的实数根时， ，由此得 ①若 是方程①的根，则原方程有增根 ，代入①解 ， 此时方程①的另一个根 ，它确也满足题中的等式； ②若 是方程①的根，则原方程有增根 ，代入①解得 ，此时方