高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题及答案（2）

2020年高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题（2） 注童事项：1.本试卷共2页，共17题。 2.满分100分，考试时间90分钟，请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 1．若 ，化简 的结果是（ ）. A. B. C. D. 2.已知实数x满足x 2＋ 的值是（ ）． ＝4，则x－ ＋x－ A．－2 B．1 C．－1或2 D．－2或1 3. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是( ) [ A. B. C. D. （第3题图） （第4题图） 4．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360º，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）． A．3次 B．5次 C．6次 D．7次 5．已知关于x的不等式组 ) 的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）． A．－6＜a＜－5 B．－6≤a＜－5 C．－6＜a≤－5 D．－6≤a≤－5 6．二次函数 （ ）的图象如图，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ （ ）， 其中结论正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 7. 若=3﹣x，则x的取值范围是　 　． 8. 当时，函数的最大值是 。 9. 已知 ，则 的值为____________ . 10.如图，半圆 的直径 ，与半圆 内切的动圆 与 切于点 ，设圆 的半径为 ， 的长为 ，则 与 的函数关系是 .（要求写出自变量 的取值范围） 11．已知 互为相反数，则代数式： _____________． 12. 若实数a，b满足 ，则a的取值范围是_____________． 三、解答题（共36分，共3题，每题12分） 13.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索： ＝(1＋ 设a＋b． ＝m2＋2n2＋2mn)2（其中a、b、m、n均为整数），则有a＋b＝(m＋n ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把形如a＋b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝_ ▲ ，b＝_ ▲ ； ＝(m＋n （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空：_ ▲ ＋▲ )2； ＝(_ ▲ ＋_ ▲ （3）若a＋4)2，且a、m、n均为正整数，求a的值． ＝(m＋n 14. 对于实数 ，只有一个实数值 满足等 ， 试求所有这样的实数 的和. 15如图， 是⊙ 的直径，AC与⊙ 相切，切点为A，D为⊙ 上一点，AD与OC相交于点E，且 . （1）求证： ∥ ； （2）若 ， ，求线段CE的长． 四、问题解决（共16分，共2题，16题5分，17题11分） 16. 边长为2的两种正方形卡片如图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为 _________ （结果保留π,直接写出结果即可）． 17. 已知二次函数 和一次函数 ，其中a、b、c满足 ， ．( R)． （1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B； （2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为A1、B1．求线段A1B1的长的取值范围． 数学试题答案 注童事项：1.本试卷共2页，共17题。 2.满分100分，考试时间90分钟，请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 1.A 2.D 3.C 4.B　 5.B 6.B 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 7. x≤3 8.16 9.36 10 11. 12、a≤ 或 a≥4 三、解答题（共36分，共3题，每题12分） 13. 解（1）a＝m2＋3n2，