高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（1）

2020年高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（1） 一试（80分） 一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 1、计算 的值为（ ）． （A）1 　 （B） （C）2 011 （D）2 012 【解】选A． 2、如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（    ）． （A）1        （B）2      （C）3       （D）4 B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数． ≥0，又2≥，所以，  当时，解得  ；  当时，解得  ． 3、若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共 点，则k的取值范围是（    ）． （A）k＞，或k＜－1      （B）－1＜k＜，且k≠1 （C）k＞，或k≤－1      （D）k≥，或k≤－1  C解：当函数为二次函数时，有  k2－1≠0，  =(k+1)2－4(k2－1)＜0.  解得k＞，或k＜－1．   当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．       当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.       所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1. 4、如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上， ；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为         ．     解：如图，连接PD，则  ．  5、若 是正数，则 的最小值是（ ） A．3 B． C．4 D． 解： = = ≥1+2+1=4 当且仅当 ，即 时等号成立，故选C。 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分) 6、已知： 。那么 ____________。 答案：970 7、 如果有2012名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、 4、3、1 的规律报数，那么第2025名学生所报的数是 。 4 详解：观察以上为1、2、3、4、5、4、3、2等8个数为一个周期进行循环，则2025除以8等于253 余1，说明有251个循环，仅余下1个数，即为第252个周期中的第一个数为1。 8、如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ． 【解】 ． 根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图 从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率 ． 9、在 中， ，点 为 上的2005个不同的点.令 ， 则 的值是 . 提示：作 为垂足 EMBED Equation.DSMT4 10、有 个连续的自然数1，2，3，…， ，若去掉其中的一个数 后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的 和 的值分别是 . （参考公式： ） 【解】 ， ； ， ； ， . 由已知， 个连续的自然数的和为 . 若 ，剩下的数的平均数是 ； 若 ，剩下的数的平均数是 ， 故 ，解得 . 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分10分，共40分） 11、解方程 　　　　 　　解 观察到题中两个根号的平方差是13，即 ②÷①便得 　　　　 由①，③得　　 　　　　　 　 　　 12、某中学组织学生春游，旅游公司提供了中型客车数辆。最初每辆车乘坐28名人，出发开出一段时间后，发现有一学生迟到没上车.现决定开一辆空车去接他，接回后为赶时间就把这辆空车开走，让所有的人员重新分配，则刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的载客量不能多于32人，那么原有几辆汽车，这批春游的学生共有多少人? 解：设原有 辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐 个人，显然 ≥2， ≤32． 易知旅客人数等于 ，当一辆空车开走以后，这批春游的学生的人数可以表示为 ，由此列出方程 . …… 2分 所以 . …… 4分 因为 为正整数数，所以 必为正整数，但由于29是质数，因数只有1和29两个，且 ≥2，所以 ，或 . …… 2分 如果 ，则 ， ，不满足 ≤32的条件. 如果 ，则 ， ，符合题意. …… 2分 所以旅客人数等于 ＝29×29＝841（人）. …… 2分 答：原有车辆30辆，这批春游的学生共有841人. 13、如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与 轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连结AC．请问在 轴上是否存在点Q，使得