专题06 正弦定理和余弦定理-2020年高一数学春季课程教案（人教版）

专题06 正弦定理和余弦定理 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 正弦定理和余弦定理 三角形常用面积公式 教学目标 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题. 2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 教学重点 利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题 教学难点 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 教学过程 一、课堂导入 [考情展望]　 1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状. 2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积. 3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力． ． 二、复习预习 [自主梳理] 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－b<c； (3)a>b⇔sin A____sin B⇔A____B； (4)三角形面积公式：S△ABC＝ah＝absin C＝acsin B＝_________________； (5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或________________⇔三角形为等腰或直角三角形； sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos . 2．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ________________ ＝2R a2＝____________， b2＝____________， c2＝____________. 变形 形式 ①a＝__________， b＝__________， c＝__________； ②sin A＝________， sin B＝________， sin C＝________； ③a∶b∶c＝__________； ④＝ cos A＝________________； cos B＝________________； cos C＝_______________. 解决 的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 【答案】1．(1)π　(2)>　(3)>　>　(4)bcsin A　(5)A＋B＝　2.＝＝　b2＋c2－2bccos A　a2＋c2－2accos B　a2＋b2－2abcos C　①2Rsin A　2Rsin B　2Rsin C　②　　　③sin A∶sin B∶sin C　　　三、知识讲解 考点1正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc·cos_A， b2＝c2＋a2－2ca·cos_B， c2＝a2＋b2－2ab·cos C． 变形形式 ①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； ②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ③＝. cos A＝； cos B＝； cos C＝. 解决问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. [拓展延伸] 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当A为锐角时，a＜bsin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解． 考点2 三角形常用面积公式 1．S＝a·ha(ha表示边a上的高)； 2．S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 3．S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [拓展延伸] 三角形中的常用结论 (1)A＋B＝π－C，＝－. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C(A、B、C≠)． 四、例题精析 考点一 正弦定理的应用 例1(1)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和边c； (2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c. 考点二 余弦定理的应用 例2在中，，则（ ） A． B． C. D． 考点三 利用正、余弦定理解三角形 例3在△ABC中，内角A，B，C的对边