专题08 平面向量的数量积-2020年高一数学春季课程教案（人教版）

专题08 平面向量的数量积 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 平面向量的数量积 平面向量数量积的运算律 平面向量数量积的性质及其坐标表示 教学目标 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学重点 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 教学难点 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 教学过程 一、课堂导入 [考情展望]　 1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质. 2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想． 二、复习预习 [自主梳理] 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影． (2)向量数量积的性质： ①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__________________； ②非零向量a，b，a⊥b⇔________________； ③a·a＝________________或|a|＝________________； ④cos〈a，b〉＝________； ⑤|a·b|____|a||b|. 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝________； (2)分配律：(a＋b)·c＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa)·b＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝________________________； (2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔________________________； (3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________. (4)若A（x1，y1），B（x2，y2），则|＝________________________，所以||＝_____________________. 【答案】1．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉　(2)①|a|cos〈a，e〉　②a·b＝0　③|a|2　　④　 ⑤≤　2.(1)b·a (2)a·c＋b·c　(3)λ(a·b)　3.(1)a1b1＋a2b2　(2)a1b1＋a2b2＝0　(3)　(4)(x2－x1，y2－y1)　 三、知识讲解 考点1平面向量的数量积 1．数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量|a||b|cos θ，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．向量的投影：设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cos θ；向量b在a方向上的投影是|b|cos θ. 3．数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 考点2平面向量数量积的运算律 1．交换律：a·b＝b·a； 2．数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； 3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 考点3平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤· 四、例题精析 考点一平面向量数量积的运算 例1(1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________. (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________． 例2已知点是所在平面内的一点，且，设，则 (