河南省郑州市2020届高三高中毕业年级第二次质量预测数学（理科）试题（ PDF版）

$$ 2020年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学 评分参考 1、 选择题 BCCCA ABBBD CC 二、填空题 13.160； 14.8； 15.3； 16. 三、解答题 17.(1)设等差数列的公差为，则……………………3分 解得 ………………5分 (2)由 当时， = …………………………8分 对也适合， ………………………9分 …………………10分 12分 18. (I)作出列联表： 青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计 12 18 30 ………………………3分 由列联表数据代入公式得，…………………5分 因为1.83<2.706， 故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分 (Ⅱ) 用A表示“至少有1人在青春组”，则. …………… 8分 (III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是服从二项分布. ………………………10分 显然的取值为0，1，2，3, 4 . 且. 所以得分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望 …………………………12分 19.（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，则平面， ∴.………………………………………………………………………2分 ∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴. ………………………………………………………………………………………4分 又，所以平面，而平面，∴平面平面. ………………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，∴，. 由（Ⅰ）知，又，∴，， ∴，，， ∴，∴，.………………8分 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨取，则，，∴. 而平面的一个法向量为，…………………………………………10分 ∴. 故二面角的余弦值为.…………………………………………………12分 20.解(I)设，由题意，， ……………………………2分 化简得，…（3分）所以，动点的轨迹的方程为… 4分 (Ⅱ)解：设，，则由斜率之积，得，………6分 ，因为点在椭圆上， 所以化简得． …………………………8分 直线的方程为，原点到直线的距离为 所以，的面积， 根据椭圆的对称性，四边形的面积，……10分 所以， ，所以 所以，四边形的面积为定值12． ……………………………………12分 21.解析：（Ⅰ）当时，曲线 ………………………2分 时，切线的斜率为，又切线过点 所以切线方程为…………………………4分 （Ⅱ）， ………5分 当时，，函数在上单调递减；………………………7分 当时，令， 当时，即，，此时，函数在上单调递增; 当时，即，方程有两个不等实根， 所以， 此时，函数在上单调递增；在上单调递减.……………11分 综上所述，当时，的单减区间是； 当时，的单减区间是， 单增区间是 当时，单增区间是.………………………12分 22.（Ⅰ）C的直角坐标方程为， ………………………2分 消t得到………………………………………4分 （Ⅱ）要满足弦及圆的半径为a可知只需圆心（0，a）到直线l的距离即可。由点到直线的距离公式有：…………7分 整理得：即解得：， 故实数a的取值范围为……………………………………10分 23.解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝………………………3分 由f(x)的单调性及f(－)＝f(2)＝5， 得f(x)＞5的解集为{x|x＜－，或x＞2}．……………………………………5分 （Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥ ………………………7分 由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1| 得≤，得a≥． 故a的最小值为． ………………………………10分 $$