2020年高中物理竞赛-电磁学篇（电磁场理论）04静态电磁场求解：分离变量方法 (共18张PPT)

电磁场理论 Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇） 分离变量方法又称为Fourier级数方法。其实 质是通过变量分离将原来的偏微分方程变为 含有待定参数的常微（本征值）方程，求解 本征值方程得到本征值和本征函数。利用本 征函数的完备性展开表示待求函数；把求待 求函数的问题转化为求展开系数。通过边界 条件等确定展开的系数，从而求出问题的解 4.2 分离变量方法 C A B 【例4-1】长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上盖 电位为 ，其余接地，求盒内的电位分布。 上述求解过程，归纳分离变量方法的基本程序如下： ① 提炼出定解问题的数学表达式，即方程和边界条件； ② 根据边界条件选取适合变量分离的正交坐标系； ③ 把方程和边界条件进行变量分离，得到本征值方程； ④ 求解本征值方程，确定本征值和本征函数； ⑤ 根据线性叠加原理，由本征函数构造定解问题的解； ⑥ 利用边界条件确定展开系数， 验证解的正确性。 【例4-2】无穷长导体圆筒，半径为a，厚度 可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片， 相互绝缘。其中的一半的电位为 ，另一 半电位为 ，求圆筒内的电位分布。 4.3 Green 函数方法 小电荷元在 r 点产生的电位 V上体电荷在空间 产生的电位是全体 电荷元产生电位的 叠加，表示为： 以电荷产生电位为例 Green 函数方法的基本思想 上述分析说明，只要点电荷元 在空间 的电位求得，任意电荷分布的电位即可知。 此即Green函数的基本思想。因此一个复杂的 静电场问题就可以通过先求解小电荷元的电 位而获得最终的。而小电荷元的电位的求解 又归结为单位点电荷的电位，即Green函数 的 求解。 2 Poisson方程的Green函数 应用 当 得 把 还原 ，又可表示为，以静电场为例 区域内体电荷 对电位的贡献 区域边界面上电荷对电位的贡献 区域边界面上 电偶极矩贡献 两个特例： （1)第一类边界条件的Green函数 物理模型 r Green函数其物理意义是： 接地导体壳内单位点电荷产生的电位 （2)第二类边界条件的Green函数 物理模型 r Green函数其物理意义是： 封闭绝热边界条件下区域内