2020年高中物理竞赛—电磁学C-04静态场边值问题的解法：直角坐标系中的分离变量法与例题2(共15张PPT)

2020高中物理竞赛 电磁学C 由于方程是线性的，可应用叠加原理， 将所有特解叠加 只要无穷级数收敛，且能关于x和y逐项微分两次，则（x,y）与n(x,y)一样满足方程和部分边界条件。 适当选择Dn和En，可使（x,y）满足方程和所有边界条件。 在上两式两边分别乘 并作积分。 无穷级数的系数应满足 无穷级数解满足原定解条件。通常取4项就能得到足够精确的结果。 分离变量法的主要步骤： （1）分离变量。将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题（线性齐次偏微分方程）。 （2）确定固有值和固有函数。当边界条件是齐次的时，利用其求固有值，并求出满足零边界条件的非零解。 （3）求解其他常微分方程。得到满足齐次边界条件的偏微分方程的特解Un（x，y）。 （4）将所有Un（x，y）叠加，利用其中的常数使其满足偏微分方程其余的定解条件。 教材例4.1.1 求如图长方体积中的电位函数。边界条件为除z＝c面电位不为零外，其他各表面的电位都为零。Z＝c表面上给定的电位函数为U（x，y）。 解：   分离变量，令(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) 有二个独立的本征值。边界条件可分解为： X(0)=X(a)=0 Y(0)=Y(b)=0 利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。 与上述方法一样，可求出 其中m＝1，2，……。n=1,2,………。 满足部分齐次边界条件的偏微分方程的一组特解为 为使解满足所有的边界条件，将所有特解叠加。 从已知边界条件 根据线性齐次方程的叠加原理，通过调整系数可使(x,y,z)满足所有边界条件。 将U（x，y）展开成双重傅立叶级数 比较系数可得 原定解问题的解是 谢谢观看！ $$