精品解析：2020届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测数学(理)试题

郴州市2020届高三第二次教学质量监测试卷 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A. 408 B. 120 C. 156 D. 240 8. 已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 下列结论中正确的个数是（ ） ①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列； ②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则； ③在中，“”是“”的必要不充分条件； ④若，则的最大值为2. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 10. 已知函数，则的值等于（ ） A. 2018 B. 1009 C. 1010 D. 2020 11. 设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 的展开式中，项的系数是__________． 14. 已知数列的前项和为，且满足，则______ 15. 直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________. 16. 平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球表面积为________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. 已知的内角的对边分别为，且. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由. 18. 已知，点分别为椭圆左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角. 20. 11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列； （2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求； ②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式. 21. 设函数，，其中，是自然对数底数. （1）若在上存在两个极值点，求的取值范围； （2）若，，函数与函数的图象交于，，且线段的中点为，证明：. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 在