数学：苏教版选修2-1 23双曲线（教案）

向量在抛物线中的应用 　　由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此，向量的引入大大拓宽了我们解题的思路与方法，使它在研究许多问题时获得广泛的应用．利用平面向量这个工具，可以简捷、规范地处理数学中的许多问题．下面来介绍向量在抛物线中的应用． 　　1．解决共线问题 　　例1　如图1，设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且轴，证明：直线AC经过原点． 　　证明：由抛物线方程，可得焦点[来源:学科网ZXXK] ，，准线为． 　　令，A、F、B共线， 　　则可设， 　　所以有， 　　由轴，可得． 　　又由点A在抛物线上，得， 　　∵点在抛物线上， 　　， 　　从而， 　　即． 　　而， 　　所以， 　　即共线，也就是直线经过原点． 　　评注：向量，，共线的充要条件为或． 　　2．探求动点的轨迹方程 　　例2　如图2，设点A和点B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 　　解：设． 　　所以有，， ，． 　　∵，∴，即，[来源:Z|xx|k.Com] 　　化简，得．① 　　又，∴，即， 　　化简，得．② 　　又A、M、B三点共线，所以， 　　即有， 　　即．③ 　　将①、②代入③式，化简整理，得 　　． 　　因为A、B是异于原点的点，所以．[来源:学§科§网] 　　故点M的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆（去原点）．[来源:Zxxk.Com] 　　评注：在动点的形成过程中，若包含了比较复杂的变化方式，用正常的解析几何手段来解决往往显得较为繁琐，而灵活借助向量知识可达到化繁为简的目的． 　　3．在证明中的应用 　　例3　过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为，求证：． 　　证明：显然，设A、B两点的纵坐标分别为． 　　由教材第9题的结论，得， 　　则， 　　于是，． 　　故， 　　所以，即，即． 　　练习：（2005年全国高考天津卷理科试题）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点作斜率为的两条直线分别交抛物线C于、两点（P、A、B三点互不相同），且满足． （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；[来源:学科网ZXXK] （2）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上； （3）当时，若点P的坐标为，求为钝角时，点A的纵坐标的取值范围． 答案：（1）焦点坐标为，准线方程为； （2）证明略；（3）． $$ 妙用双曲线的焦半径 　　双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径．已知点在双曲线上，分别为双曲线的左、右焦点，，．同理，焦点在y轴上的双曲线的焦半径为，，其中双曲线的焦点自下至上为． 　　例1　已知是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：如图，的中点为，则P点的横坐标，，又由焦半径公式， 得，得，有， 　　解得（舍去），故选（D）． 　　点评：利用焦半径建立关系式，得出关于e的方程，从而获解． 　　例2　经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，与双曲线交于A、Ｂ两点，为左焦点，求的周长． 　　解：由双曲线方程，得，，，． 　　设，则的方程为．[来源:Z+xx+k.Com] 　　于是，消去y，得． 　　由根与系数的关系可求得． 　　∴． 　　∵，， 　　∴． 　　∴的周长为． 　　点评：的长度的求法是利用了弦长公式． 　　例3　在双曲线的上支上有三点与的距离成等差数列．求证：的垂直平分线经过某一定点． 　　证明：，（是Ｂ点的纵坐标），．由已知，得，[来源:Zxxk.Com] 　　整理，得． 　　设的中点，其中． 　　又两点在双曲线上，于是 　　两式相减整理，得．∴． 　　∴的垂直平分线方程为， 　　即，经过点．证得原命题成立． 　　点评：利用焦半径，借助点差法，将垂直平分线方程化为点斜式从而获解． 学习“双曲线”的四点误区 　　误区一：缺乏对双曲线定义的深刻理解，应用定义时考虑不深刻，不全面，导致错误 　　例1　动点P到两定点的距离之差的绝对值为6，则动点P的轨迹为（　　） 　　A．椭圆　　　　　　B．双曲线 　　C．双曲线的一支　　D．无轨迹 　　示错：选（B）．[来源:学科网] 　　辨错：上述解答是忽视双曲线定义中的条件而导致错误的，因为6大于，所以无轨迹． 　　纠错：选（D）． 　　例2 若一个动点到两个定点的距离的差的绝对值为定值，试讨论点P的轨迹方程． 　　示错：由双曲线定义可知：轨迹是以为焦点的双曲线，其中， 　　∴方程为． 　　辨错：利用双曲线定义求轨迹方程时，一定要注意这个条件，若和、大小不定，必须讨论