选修2-1 2.3.2 双曲线的几何性质-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2．3.2　双曲线的几何性质 学习目标：1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别．(易混点) 1．双曲线的简单几何性质 标准方程 ＝1－ (a＞0，b＞0) ＝1－ (a＞0，b＞0) 性 质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 2c 范围 x≤－a或x≥a， y∈R y≤－a或y≥a， x∈R 对称轴 x轴，y轴 对称 中心 原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2.等轴双曲线 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝； ②等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直． [基础自测] 1．思考辨析 (1)双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形． (　　) (2)在双曲线中，实轴长，虚轴长分别为a，b. (　　) (3)双曲线的渐近线方程为y＝±x. (　　) (4)离心率e越大，其渐近线斜率的绝对值越大． (　　) (5)在双曲线－y2＝1中，x的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (　　) [解析]　(1)正确． (2)错误．因为实轴长为2a，虚轴长为2b. (3)错误．当焦点在y轴上时，渐近线是y＝±x. (4)错误．e＝的绝对值越大．，e越大，只能说明 (5)正确． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．填空： (1)双曲线x2－y2＝－2的渐近线为________． (2)过点(2,3)的等轴双曲线方程为________． (3)等轴双曲线x2－y2＝4的焦点坐标为________． [解析]　(1)x2－y2＝－2为等轴双曲线，则渐近线方程为y＝±x， 即x±y＝0. (2)设等轴双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把(2,3)代入可得λ＝22－32＝－5， ∴方程为x2－y2＝－5， 即＝1.－ (3)方程可化为＝1，－ ∴c＝2，0)．，焦点为(±2 [答案]　(1)x±y＝0　(2)＝1　－ (3)(±2，0) 由双曲线的方程求其几何性质 　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． [思路探究]　本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴． [解]　将9y2－4x2＝－36变形为＝1，－ 即＝1，－ 所以a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点坐标A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标F1(－，0)，，0)，F2( 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4， 离心率e＝，＝ 渐近线方程为y＝±x.x＝± 作草图，如图所示： [规律方法]　用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为： (1)将双曲线方程化为标准方程形式； (2)判断焦点的位置； (3)写出a2与b2的值； (4)写出双曲线的几何性质. [跟踪训练] 1．求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率． [解]　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为＝1，－ ∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2＝4，＝，∴c＝ ∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4x，离心率e＝2.，焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝± 求双曲线的标准方程 　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x； (2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)． [思路探究]　利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解． [解]　(1)设以直线y＝±＝λ(λ≠0)，－x为渐近线的双曲线方程为 当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2.＝6⇒λ＝ 当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为＝1.－＝1或－ (2)设与双曲线－y2＝λ(λ≠0)，－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为 将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2. ∴双曲线的标准方程为＝1.－ [规律方法]　双曲线方程的求解方法 (1(根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a