【新教材精创】9.1.1 正弦定理（第2课时）教学设计（1）-人教B版高中数学必修第四册

9.1.1正弦定理（2） 正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔，因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关的问题的有力工具。本节课是正弦定理的第二课时，在第一课时掌握了三角形面积公式、正弦定理的推导过程和简单应用的基础上，进一步研究正弦定理的推论和变形及应用，过程中进一步渗透直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 考点 教学目标 核心素养 正弦定理的推论和变形 掌握正弦定理的推论和变形，以及在解三角形和实际问题中进行简单应用. 直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算 【教学重点】 正弦定理的推论和变形的推导、应用 【教学难点】 正弦定理的推论和变形在解三角形和实际问题中的应用 问题1：正弦定理的外接圆证法 如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′ 设BB′＝2R，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到： ∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′ ∴sinC＝sinB′＝ ∴＝2R 同理可得＝2R，＝2R ∴＝＝＝2R 因此得到正弦定理的推论： 设R是△ABC外接圆的半径，则＝＝＝2R. 例1. 在△ABC中，a＝5，B＝135°，C＝15°，则此三角形的最大边长为________，外接圆半径为________. 【答案】5　5　 【解析】因为B为钝角，所以B为最大角，b为最大边．由三角形内角和定理得A＝180°－135°－15°＝30°，由正弦定理＝，得b＝＝＝5.由2R＝＝10，得R＝5. 问题2：正弦定理的变形及其应用 正弦定理的变形(R是△ABC外接圆的半径)： (1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C. 例2. △ABC中，，求证△ABC为直角三角形 证明：设，则，且 又因为，所以 即，由勾股定理即得证. 【解题方法】 1．判断三角形形状时，应围绕三角形的边角关系，利用正弦定理进行边角互化，要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角，通过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑． 2．在解题中，若出现关于边的齐次