【新教材精创】9.1.1 正弦定理（第2课时）课件（1）-人教B版高中数学必修第四册(共22张PPT)

人教2019版必修上册 9.1.1正弦定理（2） 问题1：正弦定理的外接圆证法 问题2：正弦定理的变形及其应用 正弦定理的变形(R是△ABC外接圆的半径)： (1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C. 人教版必修上册 如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆， O为圆心，连接BO并延长交圆于B′ 设BB′＝2R，则根据直径所对的圆周角是直角以及 同弧所对的圆周角相等可以得到： ∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′ ∴sinC＝sinB′＝ eq \f(c,2R) ∴ eq \f(c,sinC) ＝2R 同理可得 eq \f(a,sinA) ＝2R， eq \f(b,sinB) ＝2R ∴ eq \f(a,sinA) ＝ eq \f(b,sinB) ＝ eq \f(c,sinC) ＝2R 因此得到正弦定理的推论： 设R是△ABC外接圆的半径，则eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R. 例1. 在△ABC中，a＝5，B＝135°，C＝15°，则此三角形的最大边长为________， 外接圆半径为________. 【答案】5eq \r(2)　5　 【解析】因为B为钝角，所以B为最大角，b为最大边． 由三角形内角和定理得A＝180°－135°－15°＝30°，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， 得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(5×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝5eq \r(2).由2R＝eq \f(a,sin A)＝10，得R＝5. 例2. △ABC中， ，求证△ABC为直角三角形 证明：设 ，则 ，且 又因为 ，所以 即 ，由勾股定理即得证. 【解题方法】 1．判断三角形形状时，应围绕三角形的边角关系，利用正弦定理进行边角互化， 要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角， 通过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑． 2．在解题中，若出现关于边的齐次式(方程)，或关于角的正弦的齐次式(方程)可 通过正弦定理，进行边角互化． 【变式练习