【新教材精创】9.1.2 余弦定理（第1课时）教学设计（1）-人教B版高中数学必修第四册

9.1.2余弦定理（1） 本节内容是《解三角形》一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据. 考点 教学目标 核心素养 余弦定理 了解余弦定理的证明过程、掌握余弦定理在解三角形中的简单应用 数学抽象，直观想象、数学运算 【教学重点】 余弦定理的证明、余弦定理在解三角形中的简单应用 【教学难点】 余弦定理在解三角形中的应用 引入： 利用如图所示的现代测量工具，可以方便地测出3点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离和角。 例如，如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及的大小，你能根据这三个量求出AB吗？ 情境中的问题可以转化为：已知和角，如何求 方法1：（向量法） 如图所示，注意到： 所以：， 而且，因此 又因为，因此： 类似地，可得： 这是余弦定理，三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍. 方法2：（坐标法） 如图以A为原点，AC为x轴建立平面直角坐标系， 则．所以 ， 同理可证， 方法3：（几何法） 当A为锐角时，在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A，作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA 当A为直角时：由勾股定理，又 成立 当A为钝角同理可证. 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 总结：若中，C=，则，这时，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例1.在中，已知，求 解：由余弦定理可知 因此 注：当已知三角形的两边及夹角时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS一致. 例2.在中，已知，求 解：由可得： 可解得： 又因为 注：已知三角形的3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致。 事实