北京市杨镇第一中学2019-2020学年高三第二学期4月月考数学试卷

4 月月考参考答案 一、选择题： 二、填空题： 11、 40 12、选① ）1-2（3 nn S 或 ）n（）2-（-1 n n  NS ； 选② ）n）（1-2（3 nn  NS 13、1.5 14、5；170 15、 3 4 ； 4  注：第 14、15 题第一空 3 分，第二空 2 分. 三、解答题： 16、（I）因为 2 1( ) 3sin cos cos 2 f x x x x   3 1sin2 cos2 2 2 x x  πsin(2 ) 6 x  ……………6分 又 π( ) sin(2 ) 1 6 f A A   ， (0, )A  ， ……………7 分 所以 π π 7π2 ( , ) 6 6 6 A   ， π π π2 , 6 2 3 A A   ……………9 分 （Ⅱ）由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   得到 2 π49 25 2 5 cos 3 c c    ，所以 2 5 24 0c c   ……………12 分 解得 3c   （舍）或 8c  ……………14 分 所以 8c  17、解：（Ⅰ）设 AC BD O ，则O为底面正方形 ABCD中心．连接 PO． 因为 P ABCD 为正四棱锥， 所以 PO 平面 ABCD． ………1 分 所以 PO AC ． ………2 分 又 BD AC ，且 PO BD O ， ………3 分 所以 AC 平面 PBD． ……… 4 分 （Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz- ．[5 分] 因为 PB AB ，所以Rt RtPOB AOB△ △ ． 所以OA OP ． ………6 分 设 2OA  ． 选择 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C D C B C C B 所以 (2,0,0)A ， (0,2,0)B ， ( 2,0,0)C  ， (0, 2,0)D  ， (0,0,2)P ， (0,1,1)E ， (0, 1,1)F  ． 所以 ( 2,1,1)AE    ， ( 2,0, 2)PC     ． ………7 分 所以 | 3| cos , | 6 | || | AE PCAE PC AE PC            | ． 即异面直线 PC与 AE所成角的余弦值为 3 6 ． ………9 分 （Ⅲ）连接 AM ． 设 PM PC  ，其中 [0,1]  ，则 ( 2 ,0, 2 )PM PC         ， ………10 分 所以 ( 2 2 ,0,2 2 )AM AP PM            ． 设平面 AEMF 的法向量为 ( , , )x y zn ，又 ( 2, 1,1)AF     ，所以 0, 0, AE AF          n n 即 2 0, 2 0. x y z x y z         所以 0y  ．令 1x  ， 2z  ，所以 (1,0,2)n ． ………12 分 因为 AM 平面 AEF，所以 0AM   n ， ………13 分 即 2 2 2(2 2 ) 0      ， 解得 1 3   ，所以 1 3 PM PC  ． 14 分 18、解：（Ⅰ）设抽到 2016年发表的论文为事件 A，依题意可知， 36 1( ) 540 15 P A   ； ……5 分 （Ⅱ）设至少抽到一个“丰年”为事件 B，依题意可知， 1994 - 2016的 23年中随机抽取连续两年共有 22种可能， 至少一个“丰年”的可能情况有： 2009 2010- ， 2010 2011- ， 2011 2012- ， 2012 2013- ， 2013 2014- ， 2014 2015- ， 2015 2016- 共计 7 种可能， 7( ) 22 P B  ； ………11 分 （Ⅲ） 81 48 57， ， 三个数方差最大， 所以从 2013 年开始，连续三年论文数方差最 大. ………14 分 19、解：（Ⅰ）对 ( )f x 求导数，得 ( ) exf x x   ，………1 分 所以切线 l的斜率为 00 0( ) e x xf x   ，………2 分 由此得切线 l的方程为： 00 0 0 02 ( 1(e 2 )) e ( )x x x x xy x    ，………4