【新教材精创】9.1.2 余弦定理及其应用 导学案（2）-人教B版高中数学必修第四册

9.1.2 余弦定理及其应用 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的方法．(重点) 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形．(重点、难点) 重点：余弦定理的推导 难点：灵活运用余弦定理解决两类基本的解三角形 1．余弦定理 (1)三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍． 即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C. (2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求三角． ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？ [提示]　是． 2．余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形： cos A＝；cos B＝；cos C＝. (2)利用余弦定理的变形判定角： 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角． 一、温故知新 正弦定理： 二、情境与探究 利用如图9-1-6（1）所示的现代测量工具，可以方便地测量出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角 例如如图9-1-6（2）所示，AB，分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC, BC以及角的大小，你能根据这三个量求出AB吗？ 情景中的问题可以转化为已知a , b和角C，如何求c?类似的问题，可以通过构造直角三角形来解决，也可以借助向量来求解. 研究：在三角形ABC中，AB＝c，BC=a，CA=b, 余弦定理： 由余弦定理变型得： 做一做 1．思考辨析 (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．(　　) (2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(　　) 2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________. 3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B＝________. 三、典例解析 例3．在△ABC中，已知acosA=bcosB，试判断△ABC的形状． 例4．如图所示，平面四边形ABCD中，已知B+D=180°，AB=2，BC=，CD=4，AD=，求四边形ABCD的面积. 例5.在△ABC中