专题04 圆锥曲线中优化运算策略分析-2020年高考数学（文）解题技巧归纳（圆锥曲线与方程）

专题04 圆锥曲线中优化运算策略分析 内容提要 纵观历年高考真题，圆锥曲线中运算复杂，综合性强.考场上处于紧张状态，考生容易产生畏难情绪，究其原因，运算中代数变形方向性不明，导致迷失方向，运算盲目，为此本文提出优化运算策略，本文首先重点推荐定比点差法，然后坚守传承传统方法.勤思，执着，是解析几何赋予人们的内涵，人们完善解析几何优化计算的过程，也是在完善自我的修行. 方法归纳 ①定比点差 整体代入 ②回归定义 溯本求源 ③引入参数 统一变量 ④巧用对称 三点共线 ⑤设而不求 韦达定理 ⑥合理用点 巧妙设线 ⑦巧用平几 妙手回春 ⑧巧妙设点 柳暗花明 溯本求源 例1．（2019成都七中高三月考）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点. 【解析】（1）设，由已知， ∴， ∴（）， 化简得点的轨迹的方程为：（）； 方法一：设而不求 韦达定理 （2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意 故可设直线的方程为：（），代入的方程得： . 设，，则， ，. ∴直线：. 令，得 . 直线过轴上的定点. 反思提升 ①定比点差 整体代入 方法二：设，，直线过轴上的定点则， 由得. 即，得. 所以直线过轴上的定点. 【评析】本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，突出韦达定理，设而可求思想，意在考查学生的运算求解能力和转化能力，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.方法一传统，实用范围广泛；方法二清新自然，揭示本质. 推广延伸 如图所示，设椭圆，设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，则直线过轴上的定点，. 证明：方法同上类似,此处不再赘述． 类比联想 ①设,为椭圆上的两点，若存在，两点，满足,,则. 证明：方法同上类似,此处不再赘述． ①设,为双曲线上的两点，若存在，两点，满足,,则. 证明：方法同上类似,此处不再赘述． ②回归定义 溯本求源 例2．（2020四川成都树德中学高二月考）为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，的最小值为，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，恰好为椭圆的两个焦点， 因为， 所以. 因为，得， 所以，则. 故选：B. 【评析】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意圆心为椭圆焦点，联系椭圆定义，利用不等式结合最值进行运算求值，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算. ③引入参数 统一变量 例3．（2019武威第六中学高二月考）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】由得椭圆的短轴长为，， 解得， ，设， 则，， 即， ，故选D. 【评析】本题考查椭圆的简单性质，联系椭圆定义.数形结合，求解范围，引入参数，统一变量，构造函数，有利于范围求解. ④巧用对称 三点共线 例4.（2019黑龙江鹤岗一中高二期中）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）若A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，直线与直线交于点P，，求直线的斜率． 【解析】（1）因为椭圆的左、右焦点分别为，， 所以， 把点代入椭圆方程，得到 而在椭圆中，解得， 所以所求的椭圆的标准方程为：. （2）设交椭圆于另一点M， 因为，， 所以，所以，所以， 根据对称性可知点和点关于原点对称，所以， 所以得到， 设，，所以， 设直线，代入椭圆方程得， ，， 所以有，所以，解得， 由，可知，故. 所以的斜率为1． 【评析】本题考查椭圆的对称性，根据比例相等，联系直线平行，结合椭圆关于原点对称，有利于设而不求，韦达定理，开展整体代入运算. ⑤设而不求 韦达定理 例5．（2017湖南高三）在平面直角坐标系内，动点与两定点， 连线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设点， 是轨迹上相异的两点. （Ⅰ）过点， 分别作抛物线的切线， ， 与两条切线相交于点，证明： ； （Ⅱ）若直线与直线的斜率之积为，证明： 为定值，并求出这个定值. 【解析】（1）依题意： （2）（Ⅰ）设直线的斜率为，设直线的斜率为，设切线为： ， ， ， . （Ⅱ）由条件得： ， ， . . 【评析】求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标，然后根据题目等式直接求解即可.而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，转化为向量坐标进行运算,或转化为斜率来理解，借助韦达定理，设而不求，整体代入.掌握三角形面积公式，变量统一，有利变形，