第1章 1.3.1 二项式定理-2019-2020学年高二数学选修2-3自学学案（北师大版）

1.3　二项式定理 1.3.1　二项式定理 一、学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理．(一般) 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点) 3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点) 二、新知梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 【名师叮咛】[来源:学科网] 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 三、新知初练 1．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9　　　　　　　　 B．10 C．11 D．12 1.B解析：由二项式定理的公式特征可知n＝10. 2．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数为(　　) A．C B．C(－2)5 C．C D．C(－2)6 2.C解析：由题意可知：Tk＋1＝Cy8－k(－2x)k＝C·(－2)kxky8－k 当k＝5时，二项式系数为C.] 3．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝________. 3．x4解析：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1 ＝[(x－1)＋1]4＝x4 四、讲透、练会 题型一：求二项式的展开式 例1.(1)求(a＋2b)4的展开式； (2) 求5的展开式； 解析：(1)(a＋2b)4＝Ca4＋Ca3(2b)＋Ca2(2b)2＋Ca(2b)3＋C(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4. (2)法一　5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)4＋C5＝32x5－120x2＋－＋－. 法二　5＝ ＝(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)