第1章 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质-2019-2020学年高二数学选修2-3自学学案（北师大版）

1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质 一、学习目标 1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点) 2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点) 3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点) 二、新知梳理 1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C. 2．二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C. (2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数C取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 三、新知初练 1．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1　　　　　　　 B．－1 C．215 D．315 1.B解析：令x＝1即得各项系数和，∴和为－1. 2．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　) A．第8项 B．第7项 C．第9项 D．第10项 2.C解析：由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等． 3．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是(　　) A．1,4,6,4,1 B．1，－4,6，－4,1 C．(－1)rC(r＝0,1,2,3) D．(－1)rC(r＝0,1,2,3,4) 3.A解析：杨辉三角第4行的数字即为二项式系数． 四、讲透、练会 题型一：与“杨辉三角”有关的问题 例1.如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值． 【思路分析】由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C. 解析：S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋