专题10 与函数单调性有关的恒成立问题-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇 专题十 与函数单调性有关的恒成立问题 一、问题指引 与函数单调性有关的恒成立问题主要有两大类，一是形如的恒成立问题，利用的单调性转化为或恒成立问题，二是恒成立问题，转化为是增函数。 二、方法详解 (一) 形如的恒成立问题。 【例】（2020·甘肃兰州高三期末）函数对任意的，都有，若对所有都有成立，则k的最小值为________. 【例】（2020·河北高三期末）已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【类题展示】已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． (二) 形如（或<0）恒成立问题 【例】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若曲线的一条切线方程为， （i）求的值； （ii）若时， 恒成立，求实数的取值范围. 【类题展示】已知，，且，，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 三、跟踪训练 1．（2019·河南高一月考）已知函数，若，则a的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 2．（2019·广西蒙山中学高一月考）函数f(x)满足，且对任意的都满，则是（ ） A．或 B． C．或 D．或 3.已知定义在上的奇函数在上是减函数，且对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．【福建省龙岩市2020届高三期末】已知函数，对于，都有，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2019·湖北沙市中学高一期末）已知函数，若，则a的取值范围是______． 6．（2016·福建高三月考（文））已知函数，若，则实数的取值范围是 . 7. 【江西省宜春市2020届高三模拟】函数，若对恒成立，则实数的取值范围是_____． 8.【安徽省江淮十校2020届高三联考】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_____. 9.已知,，若成立，则实数的取值范围是_____． 3 / 3 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇 专题十 与函数单调性有关的恒成立问题 一、问题指引 与函数单调性有关的恒成立问题主要有两大类，一是形如的恒成立问题，利用的单调性转化为或恒成立问题，二是恒成立问题，转化为是增函数。 二、方法详解 (一) 形如的恒成立问题。 【例】（2020·甘肃兰州高三期末）函数对任意的，都有，若对所有都有成立，则k的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得函数是单调递减的，由单调性化简不等式，分离参数，转化为求函数最值，再求解． 【详解】∵函数对任意的，都有，∴是减函数， ∴由得，即，∵，所以，∴，的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数不等式恒成立问题．解题时注意问题的转化，不等式恒成立常常转化为求函数的最值． 【例】（2020·河北高三期末）已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入，得到，对求导，利用，判断出函数的单调区间，从而得到函数的取得最值的位置，求出最值；第二问，先将函数在区间上为单调函数，由于没有分单调递增和单调递减，所以转化为在上恒成立，即恒成立，和转化成在上恒成立，共两种情况，求函数最值，从而求出a的取值范围；第三问，先将当时，不等式恒成立转化为， 讨论三种情况，通过求函数最值，求a的取值范围. 试题解析：①， 当时，，当时，， ∴在上单调减，在上单调增，∴ ②， 若在上单调增，则在上恒成立恒成立 令，，则，，∴ 若在上单调减，则在上恒成立 综上，的取值范围是：9分 ③恒成立 当时，不等式显然成立 当时， 在时恒成立，令，即求的最小值 设，，， 且A、B两点在的图象上，又∵，，故 ∴，故，即实数的取值范围为。 考点：导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题. 【类题展示】已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题判断为奇函数且单调递增，转化为恒成立，利用单调性得,分离a求导求范围即可 【解析】易知单调递增，，则， 故为奇函数，当时，不等式恒成立等价为 即恒成立，