专题13 与函数不等式证明有关的问题-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题十三 与函数不等式证明有关的问题 一、问题指引 利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的． 二、方法详解 (一)把证明转化为证明。 【例】（2019·北京清华附中高三开学考试（理））已知函数，为常数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 【例】（2020·云南高三（理））设函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有零点，证明：. 【类题展示】已知． （1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间： （2）时，求证：． (二) 不证明转化为证明 【例】（2020·内蒙古高三期末考试）设函数. （1）求函数的极小值； （2）证明：当时，不等式恒成立. 【类题展示】【黑龙江省哈尔滨市2020届高三期中】已知 （Ⅰ）列表求在的所有极值； （Ⅱ）当时， （i）求证：；（ii）若恒成立，求的取值范围 【类题展示】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明: （其中为自然对数的底数）. (三)把证明转化为证明 【例3】【河北省2020届高三期末】已知曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求函数的最小值； （2）若，证明：. 【类题展示】已知． （Ⅰ）求函数在定义域上的最小值； （Ⅱ）求函数在上的最小值； （Ⅲ）证明：对一切，都有成立． (四)对所给不等式通过恒等变形，再构造函数 【例】（2020·贵州高三（理））已知函数， （1）讨论的单调性； （2）求证：当时，对于任意，都有. 【类题展示】已知函数 ，（为自然对数的底数） （I）若在上单调递减，求的最大值； （Ⅱ）当时，证明：. 【类题展示】已知函数，. （1）求函数的极值； （2）当时，求证：. 三、跟踪训练 1．（2020·河南高三月考（理））已知函数. （1）讨论的单调性； （2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：. 2．已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若存在两个极值点，，证明：. 3．函数，其中，，为实常数 （1）若时，讨论函数的单调性； （2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，当时，证明：. 4．（2020·福建高三（文））已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 5．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求函数的最小值； （2）若都有，求证：. 6．已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明:. 7.【江西省新八校202019届高三联考】已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意都有恒成立. 8. 【安徽省芜湖市2020届高三模拟】已知函数. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若，求证：. 9.【江西省南昌市2020届高三二模】已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，证明：. 10. 【广东省揭阳市2020届高三二模】已知函数. （1）若函数的极小值为0，求的值； （2）且，求证：. 11.【山东省2020年高三模拟】 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）证明：当时，. 12. 【安徽省宣城市2020届高三第二次调研】已知函数，. （1）求的单调区间； （2）当时，证明． 5 / 5 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题十三 与函数不等式证明有关的问题 一、问题指引 利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的． 二、方法详解 (一)把证明转化为证明。 【例】（2019·北京清华附中高三开学考试（理））已知函数，为常数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 【答案】（1）当时，，在为增函数。当时，，，在为减函数，在为增函数。（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）首先求出，分别讨论和时的单调区间即可. （2）分别求出和时，函数的最小值，从而确定的范围，证明其结论即可. 【详解】（1）. ①当，即时，，，为增函数. ②当，即时，令，，. ，，为减函数，，，为增函数. （2）当时，由（1）知，在为增函数，.即证 当时，在为减函数，在为增函数. . 令，，，. 所以在为减函数，.所以，即证. 综上所述：. 【点睛】本题主要考查利用导数解决含参单调区间问题，同时考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 【例】（2020·云南高三