专题14 与切线有关的恒成立问题-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题十四 与切线有关的恒成立问题 一、问题指引 与切线有关的恒成立问题，包括根据恒成立求参数范围与证明不等式，前者常利用切线找出临界点，后者常利用切线型不等式进行放缩． 二、方法详解 (一)借组曲线的切线求参数范围 【例】（2020·江西高二期末（文））已知函数f（x）＝ex+ax2+bx（e为自然对数的底，a，b为常数），曲线y＝f（x）在x＝0处的切线经过点A（﹣1，﹣1） （1）求实数b的值； （2）是否存在实数a，使得曲线y＝f（x）所有切线的斜率都不小于2？若存在，求实数a的取值集合，若不存在，说明理由． 【类题展示】【河北省2020届高三期末】对任意，都存在，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【类题展示】【贵州省贵阳市2020届高三模拟】不等式，恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． (二) 证明不等式时利用切线型不等式放缩 【例】（2020届安徽省高三期中）已知函数. （1）求曲线在处的切线方程；（2）求证：当时，. 【类题展示】【广东省揭阳市2020届高三模拟】已知函数. （1）若函数的极小值为0，求的值； （2）且，求证：. 【类题展示】（2020·汕头市潮阳实验学校高三月考（理））已知函数若直线且曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的取值范围； 三、跟踪训练 1．（2020·平罗中学高三期末（理））若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 2．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 3.【福建省泉州市2020届高三第二次（5月)质检】已知函数若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4.【湖南省师范大学附属中学2020届高三考前演练】设直线与曲线有公共点，则整数k的最大值是______. 5.（2020·江苏高三期中）已知函数，曲线上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为_______． 6.【重庆市第一中学校2020届高三下学期第三次月考】设函数，对于，都有成立. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）. 7.【河南省名校-鹤壁高中2020届高三压轴第二次考试】已知函数. （1）求函数在区间上零点个数；（其中为的导数） （2）若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围. 8．【河南省安阳市2020届高三毕业班第二次模拟】已知函数f（x）＝lnx﹣x2+ax，a∈R． （Ⅰ）证明lnx≤x﹣1； （Ⅱ）若a≥1，讨论函数f（x）的零点个数． 9.已知函数，， （I）求函数的单调区间； （II）若在恒成立，求的取值范围； （III）当，时，证明： 2 / 3 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题十四 与切线有关的恒成立问题 一、问题指引 与切线有关的恒成立问题，包括根据恒成立求参数范围与证明不等式，前者常利用切线找出临界点，后者常利用切线型不等式进行放缩． 二、方法详解 (一)借组曲线的切线求参数范围 【例】（2020·江西高二期末（文））已知函数f（x）＝ex+ax2+bx（e为自然对数的底，a，b为常数），曲线y＝f（x）在x＝0处的切线经过点A（﹣1，﹣1） （1）求实数b的值； （2）是否存在实数a，使得曲线y＝f（x）所有切线的斜率都不小于2？若存在，求实数a的取值集合，若不存在，说明理由． 【答案】（1）b＝1；（2）存在，{}． 【解析】 【分析】 （1）求出原函数的导函数，得到，再求出，由两点求斜率公式列式可得； （2）记，曲线所有切线的斜率都不小于2等价于对任意的实数R恒成立，，求函数的导函数，分和分类求解的答案. 【详解】（1），，，又， 又曲线在处的切线经过点，，则； （2）记，曲线所有切线的斜率都不小于2等价于对任意的实数R恒成立，，当时，，单调递增， ∴当时，；时不成立， 当时，由，得，且时，，时，， ∴函数的极小值点为，又，，得． ∴存在实数a，使得曲线y＝f（x）所有切线的斜率都不小于2，则实数a的集合为{}． 【点睛】本题主要考查的是导数的几何意义的应用，利用导数求函数的极值和最值，分类讨论思想和转化思想的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力以及计算能力，是中档题. 【类题展示】【河北省2020届高三期末】对任意，都存在，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【