专题15 与极值点偏移有关的恒成立问题-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题十五 与极值点偏移有关的恒成立问题 一、问题指引 极值点偏移的含义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏. 如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏. 以函数函数为例，极值点为0，如果直线与它的图像相交，交点的横坐标为和，我们简单计算：.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移. 当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点. 二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 二、方法详解 (一)基本解法之对称化构造 【例1】已知函数. (1)求函数的单调区间和极值；(2)若，且，证明：. 小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步： step1：求导，获得的单调性，极值情况，作出的图像，由得，的取值范围（数形结合）； step2：构造辅助函数（对结论，构造；对结论，构造），求导，限定范围（或的范围），判定符号，获得不等式； step3：代入（或），利用及的单调性证明最终结论． 【类题展示】已知函数有两个零点.证明：. (二) 含参函数问题可考虑先消去参数 【例2】已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明： 【类题展示】设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明： 【类题展示】已知函数，若存在，使，求证：. 【类题展示】已知函数有两个不同的零点，求证：. (三) 对数平均不等式 我们熟知平均值不等式： 即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值” 等号成立的条件是. 1. 我们还可以引入另一个平均值：对数平均值： 那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式：， 以下简单给出证明： 不妨设，设，则原不等式变为： 【例3】设函数其图象与轴交于两点，且. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）证明：为函数的导函数）； 【类题展示】已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直. （1）试比较与的大小，并说明理由； （2）若函数有两个不同的零点，证明： . 【类题展示】已知函数 （I）讨论的单调性； （II）设，证明：当时，； （III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：. (四)极值点偏移之一题多解 【例4】已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）． 【类题展示】已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：. 三、跟踪训练 1、已知函数， 为自然对数的底数. （1）讨论的单调性； （2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明： （为函数的导函数） 2、已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求的取值范围.（2）设的两个极值点为，证明. 3、已知函数. (1)求的单调区间； (2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： . 4.设，函数， （1）讨论的单调性； （2）若有两个相异零点，求证. 5.已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：． 6.已知函数 （I）讨论的单调性； （II）设，证明：当时，； （III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：. 7.已知函数，若正实数，满足，求证:。 8.已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，求证： 9.已知函数. （1）试讨论的单调区间； （2）若时，函数的图像与轴交于，两点，且，求证：. 10.已知函数 （Ⅰ）若,求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数有两个极值点，求征：. 6 / 7 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题十五 与极值点偏移有关的恒成立问题 一、问题指引 极值点偏移的含义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解