专题16 与双变量有关的恒成立问题-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题十六 与双变量有关的恒成立问题 一、问题指引 函数背景下的双变量问题，一直是高考的热点与难点，求解基本方法是利用相关知识转化为一个变量的函数问题． 二、方法详解 （一）构造齐次式，换元 【例】（2020年河南高三期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）设分别是函数的两个零点，求证：. 【类题展示1】【四川省2020届高三期末】已知函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2． （1）求实数a的取值范围； （2）求证：x1x2＜a2． 【类题展示2】（2020·湖北高三期末）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围. (二)各自构造一元函数 【例】（2020·河南高三月考）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）． （1）求f（x）的单调区间； （2）设g（x）＝lnx，若对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围． 【类题展示】【广东省2020届高三期末】设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围. ( （三)消元构造一元函数 【例】已知函数函数恰有两个零点和． （1）求函数的值域和实数的最小值； （2）若，且恒成立，求实数的取值范围． 【类题展示】【四川省2020届高三期末已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若方程有两个不等实数根，，求实数的取值范围，并证明. (四)独立双变量，化为两边同函数形式 【例】（2020·深圳市高三期末）已知函数，其中为非零实数. （1）求的极值； （2）当时，在函数的图象上任取两个不同的点、.若 当时，总有不等式成立，求正实数的取值范围： 【类题展示】设函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）； （2）若对任何恒成立，求的取值范围． 【类题展示】已知函数. （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值； （Ⅲ）当时，证明：. (五)把其中一个看作自变量，另一个看作参数 【例】【山东2020高三期末】已知，函数 （Ⅰ）若函数在上为减函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）设正实数，求证：对上的任意两个实数，，总有成立 【类题展示】【福建省2020高三期末】已知函数，． （1）若，，求实数的值． （2）若，，求正实数的取值范围． (六)利用根与系数的关系，把两变量用另一变量表示 【例】（2020山西高三期末）设函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存 在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【类题展示】【云南省2020高三期末】已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，证明：. 【类题展示】【湖南省师范大学附属中学2020届高三考前演练】已知函数. （1）讨论函数f（x）的极值点的个数； （2）若f（x）有两个极值点，，证明：. 三、跟踪训练 1.已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，且存在不相等的实数，，使得，求证：且. 2.【2020河北省衡水市高三期末】已知函数. （1）令，若在区间上不单调，求的取值范围； （2）当时，函数的图象与轴交于两点，，且，又是的导函数.若正常数，满足条件，.试比较与0的关系，并给出理由 2.（2020·江苏金陵中学高三开学考试）已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=-bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）-g（x）， （1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（-1）-2．求函数h（x）的单调区间； （2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2 ①求b的取值范围； ②求证：＞1． 3．【福建省2020高三期中】已知函数有两个极值点，. （1）求的取值范围； （2）求证：. 4．【安徽省示范高中皖北协作区2020届高三模拟】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，方程（其中为常数）的两根分别为，证明：．注：分别为的导函数． 5．（2020江苏徐州一中高三期中）设函数，其中N，≥2，且R． （1）当，时，求函数的单调区间； （2）当时，令，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围； 6．（2019·江苏徐州一中高三月考）已知函数，g（x）＝b（x﹣1），其中a≠0，b≠0 （1）若a＝b，讨论F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间； （2）已知函数f（x）的曲线与函数g（x）的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2，证明：． 7