数学-学科网2020年3月高三第二次在线大联考（天津卷）（含考试版、全解全析）

学科网2020年3月高三第二次在线大联考（天津卷） 数学 全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B C A C A C D C A 1．B 【解析】由题意得，，又，则，故选B． 2．C 【解析】由，解得或，又为非负数，所以的解集为，所以“”是“”的充分必要条件．故选C． 3．A 【解析】由题意，该函数的定义域为，可排除B，C，由得，由得，即函数在上单调递增，在上单调递减，排除D，故选A． 4．C 【解析】本题可以用割补法，用正方体的体积减去四个角（即三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥）的体积，得三棱锥的体积，故，故选C． 5．A 【解析】甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数20，故甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率 ．故选A． 6．C 【解析】因为当时，，所以函数在上单调递减，又函数是偶函数，所以=．因为0<<1，1<<2，2<，所以，所以>>，故选C． 7．D 【解析】由题意得，为等腰直角三角形，则，所以也是等腰直角三角形，又因为=，所以．在等腰直角三角形中，，又由定义得，，即，所以双曲线的离心率，故选D． 8．C 【解析】A，，故A错误； B，，其最大值为，又，故B错误； C，=，显然为奇函数，故C正确； D，正切函数在区间内是增函数，第一象限角的正切值无法比较大小，故D错误．故选C． 9．A 【解析】由题意得函数为单调递增函数，当时不符合题意，当时，函数与函数的图象在轴下方必然有且仅有一个交点，所以只需保证函数与函数的图象在轴上方有一个公共点即可，即需函数与函数的图象在轴上方的部分相切．当时，．设切点横坐标为，可得方程组，解得，故选A． 10． 【解析】由题意，复数． 11．相切 【解析】圆的圆心坐标为，则圆心到直线的距离，圆的半径，故直线和圆相切． 12． 【解析】令可得=，令可得，即，则． 13．9 【解析】由题意，得，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故函数的最小值为9． 14． 【解析】∵，∴，时，与为递增数列矛盾，∴，∴，又∵，∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴，∴，又∵为递增数列，∴，∴，∴，即实数的取值范围为． 15．4 【解析】由题可得，因为，且圆的半径为，所以．因为点在直线上，所以的最小值即点到直线的距离，所以的最小值为． 16．【解析】（1）因为， 所以， 所以， 所以，（4分） 所以，因为，所以．（7分） （只要方法合理正确均可得分） （2）因为，所以， 即，解得（舍去）或．（10分） 在中，，， 所以为等边三角形，所以，， 所以，． 所以的面积．（14分） 17．【解析】（1）因为分别为的中点，所以， 因为，所以，（2分） 又，所以， 又平面，平面，，所以平面．（4分） 又平面，所以．（6分） （2）由题意知，，，所以， 结合（1）可知、、两两垂直，故以、、所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，（8分） 则，，，，， 则，，，，（10分） 则有，， 所以，，又， 所以平面，则平面的一个法向量为．（12分） 设平面的法向量为，则，即， 令，得是平面的一个法向量，（14分） ==， 易知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为．（15分） 18．【解析】（1）由题意得，又， 解得，．（4分） 所以椭圆的标准方程为．（5分） （2）①当点在坐标轴上时，可求得菱形的面积为；（7分） ②当点不在坐标轴上时，设所在直线为，则所在直线为， 联立，消去整理得， 所以，（10分） 同理可得， 所以菱形的面积为 ， ∵，当且仅当时取等号，（13分） ∴， ∵，∴菱形的面积的最小值为4．（15分） 19．【解析】（1）由题意，设等比数列的公比为q， ∵， ∴， ∴．（4分） 由，得，解得． ∴数列的通项公式为．（7分） （2）由题意，， ∴ 故， ．（11分） 两式相减，可得， ∴．（15分） 20．【解析】（1）由题意，函数的定义域为， ．（2分） 若，则，函数在区间上单调递增；（3分） 若，则当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增．（5分） 综上，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．（6分） （注：在区间端点处，写成闭区间也得分） （2）解法1：当时，，即存在使得．（7分） 当时，， 令，， 因为是关于的一次函数， 所以． ， ， 又， 所以，则不符合题意．（10分） 因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明时，不成立即可． 当时，令，则， 令，则， 由易知在上单调递增， 则， 所以在区间上单调递增，（12分） 所以 ，即， 则在区间上单调递增， 所以 ， 即当时，． 综上所述，当时，存在唯一的整数，使得．（16分）