精品解析：2020届湖南省长沙市高三上学期期末数学(理)试题

长沙市2020届高三年级统一模拟考试理科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在正方形中，点是的中点，点满足，那么 A. B. C. D. 4. 函数（其中e为自然对数底数）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 在如图所示的正方形内任取一点，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点恰好取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. 6. 的展开式中的常数项为 A. 14 B. -14 C. 16 D. -16 7. 已知为锐角，且，则的值为 A. B. C. D. 8. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，点.已知动点在椭圆上，且点，，不共线，若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 9. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A. B. C. D. 10. 设是数列前项和，若，，则数列的前99项和为 A. B. C. D. 11. 已知函数，若，则ab的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知双曲线：，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间.已知为原点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数为偶函数，则______. 14. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a2+a5=6，则a8=____. 15. 若的图象关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则的取值范围是______. 16. 在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体体积为______. 三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C值； （2）若2a+b=6，且的面积为，求的周长. 18. 如图，三棱柱中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C． （1）求证：AO⊥平面BB1C1C； （2）设∠B1BC=60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角的余弦值． 19. 已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4. （1）求椭圆C1和抛物线C2的方程. （2）过点A(-4，0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论. 20. 某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率； （2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以表示，求的分布列和数学期望. 21. 已知函数，既存在极大值，又存在极小值. （1）求实数的取值范围； （2）当时，、分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围. （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数).设直线与的交点为P，当变化时点P的轨迹为曲线. （1）求出曲线的普通方程; （2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值. 选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）