2.论高中数学方程思想的妙用——浅谈列表法解不等式-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

论高中数学方程思想的妙用 ———浅谈列表法解不等式 ■朱顺军 摘要:在高中数学的学习过程中,解不 等式的相 关 问 题 几 乎 无 所 不 在,如 二 次 不 等式、高次 不 等 式、分 式 不 等 式、指 数 与 对 数不等式、三角不等式等,这些基础不等式 已经让很 多 同 学 望 而 生 畏,更 别 说 较 为 复 杂的不等 式,也 会 让 一 些 数 学 基 础 较 好 的 同学感到非常棘手。本文根据笔者多年来 的教学经 验,尝 试 从 方 程 的 思 想 入 手 来 谈 谈列表法 解 不 等 式 的 妙 用,以 帮 助 更 多 的 同学能 比 较 轻 松 地 学 会 解 一 些 不 等 式 试 题,也为数 学 基 础 较 好 的 同 学 提 供 一 种 普 适性较高的不等式解法。 关键词:高中数学;方程思想;不等式解 法;列表法解不等式 引言:每种不等式都有对应的解法,每一 种解法都有各自的难点,这无疑增大了同学 们解不等式的难度。本文引入列表法解不等 式,以降低部分不等式求解的难度,让更多的 同学能够比较轻松地解决一些不等式问题。 下面阐述该方法的操作流程和理论依据,并 列举两个具体例子加以分析,希望对同学们 的学习能有所帮助。 一、列表法解不等式的基本步骤 1.将不等式改写成方程,并解出方程的 根,同时写出方程有意义的条件(等同于函数 的定义域)。 2.在数轴上标出使方程有意义的未知数 x 的范围,同时将方程的根标在数轴上,将数 轴分成几段,分段列表(写成区间)。 3.在 每 一 段 上 分 别 取 特 殊 值 验 证 符 号,若所取特殊值满足不等式,则代表该区 间是不等式的解集,否则,不是。依次逐段 验证,对满足不等式的所有区间取并集,即 得出该不等式的解集。 二、列表法解不等式的理论依据 知识点1:方程f(x)=0有实数根⇔函 数y=f(x)的图像与x 轴有交点⇔函数y= f(x)有零点(源于人教A版教材必修1第三 章第一节)。 知识点2:零点存在性定理。如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存 在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c就是方程 f(x)=0的根(源于人教A版教材必修1第 三章第一节)。 知识点3:在选修2-2中,用导数研究函 数的单调性与最值时,有列表判断导函数符 号(正、负)的方法。 知识点4:高中所学的基本初等函数除 反比例函数和正切函数外,其他函数在定义 域内都是连续不断的(而反比例函数和正切 函数在特定区间内也是连续的)。故由基本 初等函数组合(由基本初等函数加、减、乘、除 所得)或者复合(由基本初等函数内外复合) 而成的函数,其图像在定义域的每个特定区 间内也都是连续的。 三、列表法解不等式的实际操作 例1 解不等式 x+1 x-2>0 。 解:先将不等式改写为方程x+1 x-2=0 ,并 解出该方程的根为x=-1,同时注意到分母 不为零,故x≠2。将方程的根标在数轴上, 同时将分母为零时的x 的值挖掉,可将数轴 分为三段,如图1所示。列表,如表1所示。 6 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年3月 图1 表1 x 的范围 (-∞,-1) (-1,2) (2,+∞) 是否满足题意 满足 不满足 满足 在表中的(-∞,-1)上取x=-2,代入 表达式得 -2+1 -2-2= 1 4>0 ,即可代表该区间满 足题意。 在(-1,2)上取 x=0,代入表达式得 0+1 0-2=- 1 2<0 ,即 可 代 表 该 区 间 不 满 足 题意。 在(2,+∞)上取x=3,带入表达式得 3+1 3-2=4>0 ,即可代表该区间满足题意。 对满足不等式的所有区间取并集,即可 得到该不等式的解集为(-∞,-1)∪(2, +∞)。 点评:本题难度较低,可以让同学们直观 感受列表法解不等式的步骤。 例2 解不等式 1 x+2≤1 。 解:先将不等式改写为方程 1 x+2=1 ,并 解出该方程的根为x=-1,同时关注到分母 不为零,则x≠-2。将方程的根标在数轴 上,同时将分母为零时的x 的值挖掉,可将数 轴分为三段,如图2所示。列表,如表2所 示。 图2 表2 x 的范围 (-∞,-2) (-2,-1] [-1,+∞) 是否满足题意 满足 不满足 满足 在表中的(-∞,-2)上取x=-3,代入 表达式得 1 -3+2=-1<1 ,成立,即可代表该 区间满足题意。 在(-2,-1]上取x=- 3 2 ,代入表达式 得 1 - 3 2+2 =2>1,不成立,即可代表该区间 不满足题意。 在[-1,+∞)上取x=0,代入表达式得 1 0+2