3.活用平面向量基本定理解决向量问题-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

活用平面向量基本定理解决向量问题 ■刘元春 平面向量问题是高中生必须学习并掌握 的数学知识,而且平面向量是以数学工具的 形式出现的,很多高中数学知识都和平面向 量有着密切的联系。近几年的高考试题对平 面向量问题的考查越来越频繁,其中对平面 向量基本定理应用的考查尤为突出,下面举 例分析。 一、利用平面向量基本定理表示向量 例1 设D 为△ABC 所在平面内一点, BC→=3CD→,试用向量AB→和AC→表示向量AD→。 解析:如图1所示,在△ABC 中,BC→= AC→-AB→。因为BC→=3CD→,所以CD→=13BC →= 1 3AC → - 13AB →。所 以AD→ =AC→+CD→ = - 1 3AB →+43AC →。 图1 解法探究:用向量基本定理解决问题的 一般思路是先选择一组基底,再用该基底表 示向量,也就是利用已知向量表示未知向量, 其实质就是利用平行四边形法则或三角形法 则进行向量的加减运算和数乘运算。 二、利用平面向量基本定理求参数的值 图2 例2 如图2所示,在同 一个平面内,向量OA→,OB→, OC→的模分别为1,1,2,OA→ 与OC→的夹角为α,且tanα= 7,OB→与OC→的 夹 角 为45°。 若OC→=mOA→+nOB→(m, n∈R),则m+n= 。 解析:如图3所示,以O 为坐标原点,OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy, 则点A(1,0)。由tanα=7,α∈ 0, π 2( ),得 sinα= 7 52 ,cosα= 1 52 。 图3 设点 C(xC,yC), 点B(xB,yB),则xC= |OC→|cosα=15,yC = |OC→|sinα= 75,即 点 C 15 ,7 5( )。由此 可 得 cos(α+45°)=- 3 5 ,sin(α+45°)= 4 5 ,则 xB=|OB→|cos(α+45°)=-35,yB=|OB →|· sin(α+45°)= 4 5 ,即点B - 3 5 ,4 5( )。 由 OC→ = mOA→+ nOB→, 可 得 1 5=m- 3 5n , 7 5= 4 5n , ì î í ï ï ï ï 解得 m= 5 4 , n= 7 4 。 ì î í ï ï ï ï 所以 m+n= 5 4+ 7 4=3 。 解法探究:本题先通过建立平面直角坐 标系,引入向量的坐标运算,再用三角函数的 知识求出参数的值。 三、利用平面向量基本定理判断动点的位置 例3 已知△ABC 的三个顶点A,B,C 及平面内一点P 满足PA→+PB→+PC→=AB→, 则点P 与△ABC 的关系为( )。 A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在AB 边所在直线上 D.P 是AC 边的一个三等分点 解析:因为PA→+PB→+PC→=AB→,所以 PA→+PB→+PC→=PB→-PA→,所 以PC→= -2PA→=2AP→,所以P 是AC 边的一个三等 分点。应选D。 解法探究:在求与一个已知向量a 共线 的向量时,可先设所求向量为λa(λ∈R),然 后结合其他条件列出关于λ 的方程,求出λ 的值后代入λa即可得到所求的向量。 作者单位:山西省朔州市朔城区一中 8 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年3月 $$