4.例谈利用正、余弦定理解决三角形中的实际问题-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

例谈利用正、余弦定理解决三角形中的实际问题 ■林观平 研读高考数学试题可以发现,正弦定理 与余弦定理是高考考查的热点,也是同学们 学习的难点,常与三角函数的诱导公式、函数 关系、和差角公式、图形与性质等知识结合起 来进行命题。在实际的解题过程中,大家可 以利用正、余弦定理解决与几何计算和测量 相关的问题。 图1 例1 如 图1 所 示,在 Rt△ABC 中,∠ACB = π 2 , AC=3,BC=2,P 是△ABC 内的一点。 (1)若 P 是等腰直角三 角形PBC 的直角顶点,求PA 的长。 (2)若∠BPC= 2π 3 ,设∠PCB=θ,求 △PBC 的面积S(θ)的解析式,并求S(θ)的 最大值。 分析:(1)根 据 余 弦 定 理 可 求 出 PA。 (2)先根据三角形面积公式求出S(θ)的解析 式,再根据正弦函数的单调性求出S(θ)的最 大值。 解:(1)因为P 是等腰直角三角形PBC 的 直角顶点,且BC=2,所以∠PCB= π 4 ,PC= 2。又因为∠ACB= π 2 ,所以∠ACP= π 4 。在 △PAC中,由余弦定理得PA2=AC2+PC2- 2AC·PCcos π 4=5 ,解得PA=5。 (2)在 △PBC 中,∠BPC = 2π 3 , ∠PCB=θ,所以∠PBC= π 3-θ 。由正弦定 理得 2 sin 2π 3 = PB sinθ= PC sin π3-θ( ) ,所以PB= 43 3sinθ ,PC = 43 3 sin π 3-θ( )。 所 以 △PBC 的面积S(θ)= 1 2PB ·PCsin 2π 3= 23 3 ·sin2θ+ π 6( )- 3 3 ,θ∈ 0, π 3( ),所以当 θ= π 6 时,△PBC 面积的最大值为 3 3 。 图2 例2 如图2所示, 某快递小哥从 A 地出 发,沿小路AB→BC 以 平均时速20km·h-1送 快件到C 地,已知BD= 10km,∠DCB=45°,∠CDB=30°,△ABD 是 等腰三角形,∠ABD=120°。 (1)试问:快递小哥能否在50min内将 快件送到C 地? (2)快递小哥出发15min后,快递公司 发现快件有重大问题,由于通信不畅,公司只 能派车沿大路AD→DC 追赶,若汽车平均时 速为60km·h-1,问汽车能否先到达C 地。 分析:(1)根据正弦定理可得BC 的长。 先由AB=10,求出快递小哥从A 地到C 地 的路程,再计算出小哥到达C 地的时间,从 而问题可解。(2)先根据余弦定理分别算出 AD 与DC 的长,计算出汽车行驶的路程,再 求出汽车到达C 地所用的时间,并计算其与 快递小哥所用的时间差,从而问题可解。 解:(1)由题意知 AB=10。在△BCD 中,由正弦定理可得 BD sin45°= BC sin30° ,解得 BC=52。由 10+52 20 ×60≈51.21>50 知, 快递小哥不能在50min内将快件送到C 地。 (2)在△ABD 中,由余弦定理得AD2= 300,即AD=103。在△BCD 中,∠CBD= 105°,由 正 弦 定 理 得 CD sin105°= 52 sin30° ,即 CD= 51+ 3( )。 由 103+51+ 3( ) 60 × 60+15=20+153≈45.98<51.21,所以汽 车能先到达C 地。 作者单位:江西省遂川中学 9 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年3月 $$