5.一道最值问题的两种解法的比较-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

一道最值问题的两种解法的比较 ■曹乐静 在高中数学中经常会出现求最值的问题, 求解最值问题时不能想当然,而需要采用一些 行之有效的巧妙方法,下面就采用两种解法同 解一道最值问题。 例题 已知x,y,z 都是非负实数,且 x+y+z=1,求xy+yz+zx-2xyz的最大 值和最小值。 解法1:均值换元法。 由对称性,不妨设x≥y≥z≥0,又由 (x+y)+z=2× 1 2 ,可设x+y= 1 2+d ,z= 1 2-d ,由x+y≥2z≥0得 1 6≤d≤ 1 2 。所 以xy+yz+zx-2xyz=(x+y)z+xy(1- 2z)= 1 4 -d 2+2dxy≥0。而 1 4 -d 2+ 2dxy≤ 1 4-d 2+2d x+y2( ) 2 = 1 4-d 2+ d 2 1 2+d( ) 2 = 1 4+ 1 4×2d 1 2-d( ) 2 ≤ 1 4+ 1 4 2d+ 12-d( )+ 1 2-d( ) 3 é ë ê êê ù û ú úú 3 = 1 4+ 1 4× 1 27= 7 27 ,故0≤xy+yz+zx-2xyz≤ 7 27 。 故所求的最大值为 7 27 ,最小值为0。 点评:本题属于求解三元三次函数的最 大值和最小值问题,若用常规变形化简方法 求解,则非常困难,然而将已知条件x+y+z =1转化为 x+y( )+z=2× 1 2 ,则可以通过 平均值换元法简捷求得其解,解题思路简捷 明快,解法简单顺畅、灵活巧妙。 解法2:构造函数法。 因为x+y+z=1,所以xy+yz+zx- 2xyz=(xy+yz+zx)(x+y+z)-2xyz≥ 3 3xy·yz·zx·3 3xyz-2xyz=9xyz- 2xyz=7xyz≥0,所 以 xy+yz+zx- 2xyz≥7xyz≥0。构 造 三 次 函 数f(x)= (x-a)(x-b)(x-c)。一方面,f(θ)=θ3- (x+y+z)θ2+(xy+yz+zx)θ-xyz,所以 f 1 2( )= 1 8- 1 4 (x+y+z)+ 1 2 (xy+yz+ zx)-xyz=- 1 8+ 1 2 (xy+yz+zx)-xyz, 即f 1 2( )=- 1 8+ 1 2 (xy+yz+zx)-xyz ①。另一方面,因为x,y,z≥0且x+y+ z=1,故x> 1 2 ,y> 1 2 ,z> 1 2 中至多有一个 成立。当x> 1 2 ,y> 1 2 ,z> 1 2 均不成立时, 即 1 2-x>0 ,1 2-y>0 ,1 2-z>0 均成立。 由 基 本 不 等 式 得 f 1 2( )= 1 2-x( ) 1 2-y( ) 1 2-z( ) ≤ 1 2-x( )+ 1 2-y( )+ 1 2-z( ) 3 é ë ê êê ù û ú úú 3 = 1 2- x+y+z 3( ) 3 = 1 216 ,即f 1 2( )≤ 1 216 ② 。当 x> 1 2 ,y> 1 2 ,z> 1 2 中恰有一个成立时,显然有 f 1 2( )= 1 2-x( ) 1 2-y( ) 1 2-z( )<0< 1 216 。 联立①②得- 1 8+ 1 2 (xy+yz+xz)- xyz≤ 1 216 ,解得xy+yz+zx-2xyz≤ 7 27 。 故(xy+yz+zx-2xyz)max= 7 27 ,(xy+ yz+zx-2xyz)min=0。 点评:采用构造函数法解题,不仅构思 巧妙、方法 新 颖、匠 心 独 具,而 且 具 有 开 放 性和探索 性,对 于 考 查 同 学 们 的 创 造 能 力 和思维水平,培养同学们的图形观察能力, 并利用形 象 思 维 产 生 创 新 意 识,均 有 积 极 作用。需要注意的是采用构造函数法研究 最值问题的关键在于按照题设条件正确选 择构造方法。 作者单位:广东省揭阳市惠来县第二中学 01 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年3月 $$