7.一道高考题的多角度探究与拓展-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

一道高考题的多角度探究与拓展 ■杨彩群 同学们在解答圆锥曲线问题时,需要从代 数、几何两大维度展开,以培养自己的数学解题 能力和核心素养,提高高中数学学习水平。 一、圆锥曲线的问题提出 高中数学培养同学们核心素养的关键在于 保证学习始终立足于数学基础,同时要高于基 础,挖掘数学本质内容,探寻数学学习中的相关 关联关系。同学们在注重挖掘解题策略的过程 中,也要实现对数学知识内容的有效推广。 例如,已知椭圆C: x2 2+y 2=1,它的右焦 点为F,有过点F 的直线l与椭圆C 相交于 点A,B,点 M 的坐标为(2,0)。 (1)如果l⊥x轴,求直线AM 的方程。 (2)假设O 为坐标原点,证明:∠OMA= ∠OMB。 这道题是典型的圆锥曲线问题,它的特 点鲜明,直线与椭圆结合后,直线直接过椭圆 的焦点,其中有定点 M,求证两角相等。该 题目几何特征非常强,在解答该问题时,同学 们要拓展解法视角,如将这一典型几何问题 尝试转化为代数问题来求解,确保解题过程 更简单易于理解消化;也可以从几何角度思 考解决该问题,基于图形中的代数特征解决 几何问题;或者代数、几何思维折中思考,通 过借鉴两者有机互补思维解决上述题目。 二、圆锥曲线的问题求解 一般地,按照正常思路求解,可以顺利得 出该题目第(1)问的答案为y=- 2 2x+ 2 或y= 2 2x- 2 。下面重点对第(2)问进行 拓展求解分析。 1.代数求解方法。假设直线AM,BM 的 斜率分别为k1,k2。由已知条件分析,如果 l⊥x 轴,则有k1=-k2,所以直线AM,BM 的斜率也互为相反数,此时两者的倾斜角呈 现互补关系,所以∠OMA=∠OMB。考虑 直线l 与x 轴不垂直的关系,可设直线l: y=kx-1( ),点 A,B 的 坐 标 分 别 为 A x1,y1( ),B x2,y2( )。由 题 意 联 立 得 到 y=kx-1( ), x2 2+y 2=1,{ 进 而 得 到 2k2+1( ) x2 - 4k2x+2k2-2=0,最后得到k1+k2= y1 x1-2 + y2 x2-2 。所以可得直线AM,BM 的斜率是互 为相反数的,且它们的倾斜角是互补的,所以 可以证得∠OMA=∠OMB。 2.几何求解方法。如果纯粹从几何视角 来求解该问题,那么就必须证明∠OMA= ∠OMB,并将两个角构造于两个三角形中, 证明两个三角形是相似的,最终得出角相等 的结论。这里可运用相似三角形的性质,结 合椭圆的第二定义进行求解。 先列出椭圆的右准线方程:x= a2 c=2 。 从椭圆的第二定义可了解到,椭圆上任意一 点到焦点的距离和它到对应准线的距离之比 与椭圆的离心率相等。再假设椭圆的准线 d:x=2,过点A 作AD⊥d 于点D,过点B 作BE⊥d 于点E,根据平行线分线段成比例 的基 本 原 则 得 AF AD = FB BE =e ,最 终 得 到 ∠AMD=∠BME,即得∠OMA=∠OME。 该几何解法思路是相当清晰可见的,而 且它的解题步骤流程非常简单,其中没有涉 及任何复杂的代数计算过程。这里分析一下 原因,一方面,因为该题中有一特殊的点 M, 它是准线与x 轴的相交点,此时可借助椭圆 的第二定义进行求解。另一方面,可利用几 何方法———平行线分线段成比例定理与相似 三角形的性质进行求解,合理化验证了在解 析几何中运用几何方法简化求解数学问题, 这种运算解题过程是非常有效的。 作者单位:广东省佛山市三水区三水中学 21 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年3月 $$