8.一道教材习题的变式探究-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

一道教材习题的变式探究 ■张晓华 在高中数学教材中处处可见一些有价值的 习题,我们在深度研读教材时,不能放过这些看 似平淡实则价值十足的习题。作为高中生应该 具备一双慧眼,挖掘这些习题的学习价值,点燃 自己创造性的思维火花。从知识的广度和深度 上,从思维发展的灵活性和批判性上,进行拓展 和提升,必定是一件有意义的事情。 图1 例题 (人教 A 版数 学 选 修2-1第 73页第6题)如图1 所示,直线y=x-2 与抛物线y2=2x 相 交于 A,B 两 点,求 证:OA⊥OB。 变式探究1:如 果将已知条件改为OA⊥OB,可以得到什么 图2 结论呢? 使用几何 画板探索,如图2所 示,我 们 发 现 直 线 AB 始终 经 过 一 定 点(2,0)。所以可以 得到如下的结论:过 抛物线 y2=2x 的 顶点O 作两条互相 垂直的直线,分别与抛物线相交于 A,B 两 点,则直线AB 过定点(2,0)。 证明:如图2所示,设直线 AB 的方程: x=my+b,代入y2=2x 中,得y2-2my- 2b=0。设点A(x1,y1),点B(x2,y2),则y1+ y2=2m,y1y2=-2b,x1·x2=(my1+b)· (my2+b)=-2bm2+2bm2+b2=b2,于是 OA→·OB→=x1x2+y1y2=-2b+b2=0,所以 b=2或b=0(舍去),即直线AB 过定点(2,0)。 于是得到定理1:过抛物线y2=2px 的 顶点O 作两条互相垂直的直线,分别与抛物 线相交 于 A,B 两 点,则 直 线 AB 过 定 点 (2p,0)。反之亦成立。 证明:设直线AB 的方程:x=my+b,代 入y2=2px 中,得y2-2pmy-2pb=0。设 点A(x1,y1),点 B(x2,y2),则y1+y2= 2pm,y1y2 = -2pb,x1 ·x2 = (my1 + b)(my2+b)=-2pbm2+2pbm2+b2=b2,于 是OA→·OB→=x1x2+y1y2=-2pb+b2=0, 所以b=2p 或b=0(舍去),即直线AB 过定 点(2p,0)。 变式探究2:如果将O 点变为抛物线上 一点P,保持垂直的状态,定点还能保持吗? 同学之间互动、讨论后得到定理2:过抛 物线y2=2px上一点P(x0,y0)的任意两条互 相垂直的直线与抛物线分别相交于A,B 两 点,则直线AB 必过定点Q(x0+2p,-y0)。 证明:设直线AB 的方程:x=my+b,代 入y2=2px 中,得y2-2pmy-2pb=0。设 点A(x1,y1),点 B(x2,y2),则y1+y2= 2pm,y1y2=-2pb,x1+x2=m(y1+y2)+ 2b=2pm2+2b,x1·x2=(my1+b)(my2+ b)=-2pbm2+2pbm2+b2=b2,于是PA→· PB→=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2- y0)=x1x2-x0(x1+x2)+x02+y1y2- y0(y1+y2)+y02=b2-2bx0+x02-2pb+ 2px0-2pmy0-m2y02=(b-x0-2p- my0)(b-x0+my0)=0,所以b=x0+2p+ my0 或b=x0-my0。 ①若b=x0+2p+my0,则x=my+ x0+2p+my0,即x-(x0+2p)=m(y+ y0),所以直线AB 过定点(x0+2p,-y0)。 ②若b=x0-my0,则 x=my+x0- my0,即x-x0=m(y-y0),这与点P 在直 线AB 外矛盾,所以b≠x0-my0。 综上可知,直线AB 过定点Q(x0+2p, -y0)。 数学教材上的课后习题不仅起到夯实基 础、巩固新知识的作用,而且还是培养同学们 良好思维品质的载体,同学们在学习中应深 度挖掘课后习题的作用并利用好。 作者单位:人大附中深圳学校 31 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年3月 $$