9.挖掘教材中的育人功能一一一道习题的案例分析-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

挖掘教材中的育人功能 ———一道习题的案例分析 ■宫尚富 李瑞杰 教材中的习题是巩固和检验学生学习效 果的主要方法和手段,其重要性不仅在于能 培养学生的解题能力和技巧,还蕴含着良好 的育人功能。本文从人教版选修2-1第49 页习题第7题的解题入手,挖掘数学解题过 程中的育人功能。 图1 如图1所示,圆 O 的 半径为定长r,A 是圆O 内 一个定点,P 是圆上任意一 点。线段 AP 的垂直平分 线l 和半径OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时, 点Q 的轨迹是什么? 为什么? 分析:解答本题的关键是利用线段 AP 的垂直平分线的性质。连接 QA,则 QA= QP。由OQ+QP=r,可得 QA+OQ=r。 又OA<r,即点Q 到两个定点O,A 的距离 之和是常数,满足椭圆的定义,则点 Q 的轨 迹是椭圆,O,A 是这个椭圆的两个焦点。 解答:连接 QA。因为线段 AP 的垂直 平分线l和半径OP 相交于点Q,所以PQ= AQ,OQ+PQ=OQ+AQ=r(r>OA)。根 据椭圆的定义可知,点 Q 的轨迹是椭圆,它 的两个焦点为O,A。 通过对本题的分析,我们发现可以应用 所学的椭圆定义这一数学模型去解决这一实 际问题,严格地说是一个从理论到实践的应 用过程,这一过程可以帮助同学们提高数学 水平,也有助于培养同学们在以后的学习和 工作中坚持理论联系实际的优良作风。 将题目中的“线段 AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q”改成“直线l 过点 B(1,0)且与x 轴不重合,交圆A 于点C,D, 过点B 作AC 的平行线交AD 于点E”,就得 到2016年高考数学全国Ⅰ卷第20题(节 选):设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为点 A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,直线l 交圆A 于C,D 两点,过点B 作AC 的平行线 交AD 于点E。证明 EA + EB 为定值, 并写出点E 的轨迹方程。 分析:由 题 意 可 作 图(如 图2)。因 为 △ADC 是 等 腰 三 角 形,所 以 ∠ACD = ∠ADC。又因为 EB∥AC,所以∠EBD= ∠ACD,所 以︱EB︱= ︱ED︱,所 以 ︱EA︱+︱EB︱=r。 解答:将圆A 整理为(x+1)2+y2=16, 图2 可知点 A 的坐标 为 -1,0( ),如 图 2所示,BE∥AC, 则∠C=∠EBD。 由 AC=AD,则 ∠D=∠C,所 以 ∠EBD=∠D,则 EB =ED,所 以 AE+EB=AE+ED=AD=4。所以点 E 的轨迹为一个椭圆,其方程为x 2 4+ y2 3=1 (y≠0)。 破解本问的关键:利用垂直平分线的性质 转化为利用平行线和等腰三角形的性质,得到 EA+EB=AD=4(4>AB),符合椭圆的定 义,所以点E 的轨迹是椭圆。这说明条件绝非 是一成不变的,解题也不是杂乱无章的罗列, 必须根据条件的变化,做到因果关系明晰、逻 辑严谨有据、推理环环相扣,不允许模棱两可、 似是而非。解答时先利用平行线中同位角关 系,再根据等腰三角形两底角相等得到结果。 所以说,解题过程是知识的应用和严谨 治学的统一,出色的解题过程如一道抒情诗, 会给人以美的享受。同学们要通过规范的解 题和错解分析,提高思维的批判性和严谨性, 这种严谨求实的学习态度必将对同学们今后 的学习和工作产生积极的影响。 作者单位:安徽省宣城市第二中学 41 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年3月 $$