11.高中数学解题中的变式训练研究-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

高中数学解题中的变式训练研究 ■康万学 在目前深化课改的背景下,新课标尤为 主张素质教育理念,而传统的高中数学学习 方法已无法顺应课改所需及同学们的实际数 学解题学习需求,因此同学们应当对学习方 法做出适当调整,将变式训练引入其中,以锻 炼自身对问题的分析及解答能力。本文将变 式训练引入高中数学解题,结合实例证实此 种方法的有效性。 1.题干及问题表达方式的转变 例1 已知A(2,0),B(-4,0)两个定点,假 设点C(x,y)经运动能够和A,B 两点于点C处 形成直角,求点C的运动轨迹方程。 变式1:直线CA 过点A(2,0),直线CB 过点B(-4,0),两直线相互垂直交于点C,求 垂足C的运动轨迹方程。 可以看出原题及变式训练的本质是等同 的,仅仅在一定语言表述方面有所转变,同学 们对此应当辨证拓展、创新思考。根据一般的 解答方法只需明确点C 位于以AB 线段为直 径的圆周上即可。 变式2:已知定点A(2,0),∠ACB为90°,点C 位于以AB线段为直径的圆周上,直线AC交直线 CB于点C,点B处于坐标轴上,求点B的坐标。 通过此种变式训练,转换题干及表达方式,不 仅训练了同学们的解题思维,也有助于同学们更好 地掌握和运用数学知识。 例2 (1)用篱笆围成面积为100m2 的 一矩形菜园,当矩形菜园的长、宽各为多少 时,所用篱笆最短,为多少? (2)用36m长的 篱笆围成矩形菜园,若使菜园的面积达到最 大,则矩形的长、宽各为多少? 分析:(1)设矩形菜园的长、宽各为x、ym, 根据题干给出的条件可得xy=100,矩形菜园的 长为2(x+y),由于 x+y 2 ≥ xy ,可得x=y= 10时该等式成立。所以当矩形菜园的长、宽都 为10m时,所用的篱笆最短,为40m。 (2)设矩形菜园的长为xm,由题意可得宽 为(18-x)m,所以面积为x(18-x),即-x2+ 18x=-(x-9)2+81,可知当x=9,即长为9m、 宽为9m时,篱笆的面积最大。 变式3:用篱笆围成面积为100m2 的一 矩形菜园,其中长边靠墙,则这一矩形菜园的 长、宽各为多少? 何种情况下所用篱笆最短, 最长篱笆又为多少? 2.自主改变题型增设问题 在高中数学解题训练中,同学们可以对 原题型转变思维进而改变题型,通过自主启 发性改变题型,便可以对自身的知识储备有 效扩充,并充分发挥自身的潜能,真正实现自 我创新型学习。 例3 若cos2x+cosx+a=0存在实 根,那么a的取值范围是多少? 变式 4:将 原 方 程 转 换 为 2cos2x + cosx-1=-a,结合所学正弦与余弦的相关 知识,可判断该方程是否有实根。 变式5:假设cosx=m,原方程可以转化 为2m2+m+a-1=0,结合所学函数知识即 可证明方程是否存在实根。 同学们通过不同的解题途径得出了相同 的数学结论,在此过程中,同学们有了更多的 思考空间和更广的思考维度,而不是单一地 认为一道题目只有一种解法。通过探寻解题 方法,同学们可以突破以往的固有思维模式, 从而更好地拓展数学思维,为以后的数学学 习提供新的思维方式。 3.一题多解变式训练 例4 在等边△ABC 中,过点A 作直线交 BC边的中点Q,证明:AQ 为∠BAC的平分线。 变式6:在等边△ABC 中,过点A 作直线 交BC边的中点Q,证明:AQ 为BC边的垂线。 经过对该道题目进行变式训练,可以帮 助同学们更好地理解等边三角形三线合一这 一性质,找到解答问题的突破口,最终得出该 三角形的垂线、中线。所以变式训练能够在 原题目条件的基础之上加以变化,进一步培 养同学们的思维应变能力。 作者单位:甘肃省白银市会宁县第五中学 61 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年3月 $$