12.高中数学解题中构造法的应用措施-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

高中数学解题中构造法的应用措施 ■吴承瑜 解题过程是一个转变“未知”为“已知”的 过程,而这里所指的转变就是整个解题过程 的关键。构造法简单来讲主要指的是能够以 题目结论、题干条件及题目自身性质特点,构 造与之相符的数学模型。在数学解题中运用 构造法主要是为了将题目的未知条件转变为 已知量,以便更好地解答问题。 1.构造函数解题 构造函数解题对于同学们解答数学题目 尤为常用,能够在培养同学们解题思维的基 础上,提升同学们的实际数学解答能力。 例1 如果(x+ x2+1)(y+ y2+1) =1,证明:x+y=0。 证明:构造函数f(x)=lg(x+ x2+1) (x∈R),易证f(x)在 R上是奇函数且单调 递增。 因为(x+ x2+1)(y+ y2+1)=1, 所以 f(x)+f(y)=lg(x+ x2+1)+ lg(y+ y2+1)=lg[(x+ x2+1)(y+ y2+1)]=lg1=0,所以f(x)=-f(y), 即f(x)=f(-y)。 又因为f(x)是增函数,所以x=-y,即 x+y=0。 2.构造方程解题 在学习高中数学的过程中,同学们会发 现方程与函数密切相关,均是给出数量关系 或结构特征关系。假设能够运用构造法组成 一个或多个等量公式,这样可使原本复杂的 问题简单化,能大大提高同学们的解题质量 及解题速度。 例2 已知a、b、c为实数,满足条件a= 6-b,c2=ab-9,求证:a=b。 证明:结合已知条件可得a+b=6,ab= c2+9,所以直观可得a,b与一元二次方程的 两个根十分相似,所以结合已经掌握的韦达 定理,构造方程:t2-6t+(c2+9)=0。由于 Δ=(-6)2-4(c2+9)≥0,也就可以得出 36-4c2-36=-4c2≥0。据此可以得出c2≤ 0,结合题设中的已知条件“c为实数”,可得 c2=0,即c=0,从而证明a=b。 3.构造等比数列解题 例3 在数列{an}内,已知条件a1=1, an+1=2an+1,求通项an。 解析:很显然,该数列{an}并非等差或者 等比数列,所以不能通过等差或者等比数列 公式来求。而所给出的条件可变形为an+1+ 1=2an+2,于是可构造出等比数列{an+1+ 1},即可获得通项an。 由于an+1=2an+1,因此an+1+1=2(an+ 1),换言之就是说数列{an+1+1}作为等比数 列,首项为a1+1=1+1=2,公比为q=2。 解答本题时,我们通过变形构造出一个 等比数列,进而可求得通项。 4.构造等差数列解题 在高中数学诸多题目的解答过程中,关于 方程、不等式的试题尤为多,通过使用构造法完 成数列构造,可以找到较为高效的解题思路。 例 4 求 方 程 x+11-6 x+2 + x+27-10 x+2=1的实根个数。 解 析:由 于 已 知 x+11-6 x+2, x+27-10 x+2的等差中项为 1 2 ,因此可 以设 x+11-6 x+2= 1 2-d , x+27-10 x+2= 1 2+d 。 ì î í ï ï ï ï 利用 两 个 公 式 的 平 方 差 可 得 出8- 2 x+2=d,代入方程式中得出d2=1,因此 d=±1,但是均无法满足 1 2-d ,1 2+d 都是非 负数,因此原方程无实根。 综上所述,通过在高中数学解题中运用 构造法,可以结合题设条件,寻找适当的构造 方法,从而节省同学们的数学学习时间,改善 同学们的思维创新能力,提高同学们的数学 解题质量及效率。 作者单位:江苏省无锡市市北高级中学 71 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年3月 $$